Karya Tulis Ilmiah

JUDUL
(Metode penyelesaian terhadap suatu masalah, objek, tempat, waktu pelaksanaan penelitian)

Penulis
(memuat nama tanpa gelar)
(institusi penulis)
(alamat korespondensi)

Abstrak
Tujuan penelitian
Metode penyelesaian masalah
Hasil penelitian secara ringkas
Simpulan

Keyword : (berisi kata kunci yang berkaitan dengan penelitian terdiri dari 3 – 5 kata)

Pendahuluan
Latar Belakang
Uraikan fenomena yang menjadi permasalahan yang akan diteliti
Review penelitian sebelumnya (orang lain) yang terkait dengan permasalahan yang akan diteliti

Rumusan Masalah
Fenomena yang ada kaitkan dengan konsep ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan masalah
Permasalahan yang terjadi diidentifikasi dengan pertanyaan-pertanyaan penelitian

Tujuan Penelitian
Uraikan manfaat dan tujuan penelitian

Rancangan Penelitian
Sampaikan gambaran sekilas tentang objek yang akan ditelitidan skenario bagaimana penelitian akan dilakukan secara ringkas
Landasan teori
Teori-teori yang mendukung atau yang relevan dengan kegiatan penelitian yang dilakukan.
Penyajian scientific method atau landasan teori memerlukan acuan pustaka yang kuat, tajam dan mutakhir.
Cara menyitir/mengutip pernyataan peneliti/penulis harus mengikuti ketentuan yang berlaku, yaitu sistem penomoran atau catatan perut (pengacuan berkurung).
 Tinjauan pustaka dibuat dengan mengemukakan hasil penelitian atau buku yang membahas subjek  atau pendekatan teoritis yang sama sudah dilakukan orang lain atau penulis sendiri.

Metode Penelitian
Berisi teori acuan yang menggambarkan kerangka berpikir dalam menyelesaikan permasalahan secara ringkas.
Atau memuat Desain dan langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan dalam penelitian
Gambarkan objek (siapa dan jumlahnya), tempat, dan waktu penelitian
Jika menggunakan model matematis, cantumkan model dan uraikan makna model.
Jika menggunakan hipotesis, rumuskan hipotesis yang digunakan dalam penelitian

Hasil dan Pembahasan
Uraikan hasil yang diperoleh dan ulaslah. Dari angka-angka yang diperoleh berdasarkan analisis data maknai apa arti dari setiap angka. Kaitan juga dengan hasil penelitian-penelitian terdahulu yang menjadi rujukan
Penampilan/pencantuman/tabulasi data hasil penelitian yang dilaksanakan sesuai dengan metodologi;
Analisis dan evaluasi terhadap data tersebut sesuai dengan formula hasil kajian teoritis yang telah dilakukan;
Diskusikan atau kupas hasil analisis dan evaluasi, terapkan metode komparasi, gunakan persamaan, grafik, gambar dan tabel agar lebih jelas;
Berikan interpretasi terhadap hasil analisis dan bahasan untuk memperoleh jawaban, nilai tambah, dan kemanfaatan terkait dengen permasalahan dan tujuan penelitian.
Merupakan hasil analisis fenomena di wilayah penelitian yang relevan dengan tema sentral kajian, hasil yang diperoleh dapat berupa deskriptif naratif, angka- angka, gambar/tabel, dan suatu alat.
Penulisan runut diawali dari pemeriksaan data (verifikasi dan/atau validasi), mengulas struktur dan hubungan antar kelompok _ analisisnya _ interpretasi hasil berdasar teori dan tidak bergeser dari alur yang telah ditetapkan oleh hipotesis.
Hasil analisis berbentuk interpretasi (jika kualitatif ); statistik atau tabulasi epsilon (jika kuantitatif ).
Hasil harus menjawab permasalahan dan tujuan penelitian.
Berisi tentang penjelasan perbandingan hasil dengan hal lain yang memiliki kaitan maupun bagian dari suatu keragaman masalah yang telah dipublikasikan oleh orang lain, atau hasil dari penelitian sebelumnya jika merupakan rangkaian dari suatu kegiatan penelitian.


Simpulan
Berisi poin-poin penting yang diperoleh dari hasil penelitian. Kaitkan dengan tujuan penelitian yang dirumuskan diawal, bagaimana ketercapaiannya.

Daftar Pustaka
Contoh kutipan buku:
Arikunto, S. 2009. Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara.

Contoh kutipan jurnal:
Tiebout, Charles (1956). Apure Theory of Local Expenditure. The Journal of Political Economy, Vol.64, No.5. Oct 1956. Pp. 416-424

Jenis Bilangan

Bilangan-bilangan dalam Matematika? Siapa sih yang gak tahu. Ya, pasti sudah pada tahu. Ini adalah suatu perihal yang terlihat sepele. Namun, dalam kenyataannya, karena terlalu sepelenya, banyak pelajar yang tak jarang tidak tahu ketika disuruh menyebutkan pengertian suatu bilangan, yah... misalnya saja kasus yang tidak lma ini terjadi di tempat sekolah saya, seorang teman saya disuruh menyebutkan apa itu bilangan komposit dan contohnya. Temanku ketika itu tidak bisa menjawabnya. Dan mungkin, banyak juga di antara sobat pengunjung yang juga tidak mengetahuinya. Oleh sebab itu, di postingan ini saya akan sedikit mengusik masalah istilah/ pengertian dari beberapa macam bilangan yang sepele itu.

#BILANGAN ASLI
Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol.
Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).
Contoh :
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

#BILANGAN CACAH
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.
Contoh :
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

#BILANGAN NEGATIF
Bilangan negatif
(integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.
Contoh :
{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

#BILANGAN BULAT
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.
Contoh :
{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

#BILANGAN PRIMA
Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh :
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

#BILANGAN KOMPOSIT
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh :
{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

#BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks adalah
suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Contoh :
{3 + 2i}

#BILANGAN IMAJINER
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :
   x2 + 1 = 0
atau secara ekuivalen
   x2 = -1
atau juga sering dituliskan sebagai
   x = √-1

#BILANGAN REAL
Bilangan real atau bilangan riil
menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

#BILANGAN IRRASIONAL
Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.
Contoh :
π      =          3,141592653358……..
√2    =          1,4142135623……..
e      =          2,71828281284590…….

#BILANGAN RASIONAL
Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
Contoh :
{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional. Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

#BILANGAN PECAHAN
Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

LIMIT

A.    Limit

1.1. Pengertan limit

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

1.2. Teorema-teorema limit

Misalkan  f  dan  g  adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada selang buka I yang memuat a kecuali mungkin pada a sendiri dan misalkan limit f dan g  di a ada, jika  dan , maka:

(i)                

(ii)              

(iii)            

(iv)            

(v)               ,  dengan n bilangan positif dan >0

(vi)             Teorema akibat   k = konstanta.

Contoh Soal:

1.     

                                    (teorema 1)

2. (teorema v)

1.3.  Limit kiri dan limit kanan (limit sepihak)

                           

Sebelum kita membahas konsep “Limit kiri” dan “limit kanan”, perhatikan dengan seksama fungsi f  beserta grafik pada contoh berikut :

Gambar grafik f(x) =

2

-2

-1

1

0

y

x

 

Contoh :                                                

            Fungsi f ini terdefenisi pada semua bilangan real kecuali di x = 0, jadi D_f = R – {0}.

Sebagaimana halnya pada contoh maka pada contoh ini kita amati perilaku fungsi f(x) =  disekitar x = 0. Bilamana x cukup dekat ke 0, maka f(x) tidak mendekati suatu nilai tertentu, sehingga kita katakan

 tidak ada .

·         Akan tetapi, bilamana x mendekati 0 dari arah kanan (dari arah nilai-nilai x yang besar dari 0), maka f(x) akan mendekati 1. dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi x mempunyai “limit kanan” di 0 dengan nilai limit kanan 1, ditulis

·         Demikian juga bilamana x mendekati 0 dari arah kiri (dari arah nilai-nilai x yang lebih kecil 0), maka f(x) akan mendekati bilangan -1. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai “limit kiri” di 0 dengan nilai limit kirinya  -1, ditulis

Dari kenyataan ini kita defenisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut :

Contoh 1.

a.      

1

0

1

2

-1

x

y

y = x2

y = 2

Gambar 1

Diberikan fungsi

Tunjukkan bahwa   tidak ada, dan gambar grafiknya.

Penyelesaian:

 f(x) =

Untuk menghitung limit kiri dari f digunakan persamaan

 

(domain dari  f di sebelah kiri dari 1). Sebaliknya untuk menghitung limit kanan dari  f  digunakan persamaan  . Sehingga

   sedangkan

karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa  tidak ada.

Contoh 2:

Diberikan fungsi  f(x) = 

a.       Gambar grafik  f

b.      Tentukan , jika ada

c.       Tentukan , jika ada

Penyelesaian:

a.       Grafik fungsi  f  diatur oleh 3 persamaan  yaitu :

y = 2x + 1,  pada selang  [1,+¥)

y = -x²     ,  pada selang  [-1,1)

y = x² + 2x,,  pada selang  (-¥,-1)

sehingga grafik f merupakan gabungan dari tiga kurva diatas (gambar 2)

1

0

1

2

-1

y

f(x)

3

-1

-2

x

Gambar  2

 

b.      Dengan menggunakan definisi limit, dapat ditunjukkan bahwa pada titik a = -1 maka:

Limit kiri :   dan

Limit kanan :   

karena limit kiri sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa

 

c.       Pada titik a = 1 , maka

Limit kiri :   dan

Limit kanan :   

karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa 

tidak ada.

1.4    Limit Tak Hingga

Definisi 1.4.1:

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka:

(i)                 Limit f(x) dikatakan “membesar tanpa batas” (+¥) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:

jika  "M > 0, $ d > 0 sedemikian sehingga

(ii)               Limit f(x) dikatakan “mengecil tanpa batas” (-¥) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:

jika  "M>0, $d>0 sedemikian sehingga

Sebagai illustrasi perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1:

            Selidiki perilaku fungsi  f(x) =  disekitar 0; (x ¹ 0)

Perhatikan nilai-nilai fungsi f bilamana x dibuat dekat ke 0; (x ¹ 0)

Tabel 1.4.1.1

X					®…	0	…¬
f(x)	2	10	10000	1000000	®…	?	…¬	-1000000	1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 -4 -1 -2 -4 2 y f(x) = ,  x>0 f(x) = ,  x<0 Gambar  3 -10000	-10	-2

Dari tabel 3.4.1.1 terlihat bahwa :

Nilai f(x)  akan semakin membesar tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kanan , dalam hal ini dikatakan

           

Nilai f(x)  akan semakin mengecil tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kiri , dalam hal ini dikatakan

           

Jadi limit kanan  f(x)  dan limit kiri f(x)  pada x =0 dikatakan tidak ada.

Catatan : Lambang -¥ dan +¥ bukan bilangan.

Terlihat bahwa tidak ada bilangan tertentu yang bisa didekati  f(x)  manakala x dibuat mendekati 0.

Jadi        tidak ada.

Contoh 2:

       Tentukan  limit fungsi beikut (jika ada) pada  x ® 0, kemudian gambar grafiknya.

a.      

1

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-1

-2

2

4

f(x) = ,  x>0

f(x) = ,  x<0

x

y

Gambar  4

b.     

Penyelesaian:

a.       f(x) =

Daerah asal f adalah  semua bilangan riil x kecuali x=0

atau  (-¥,0) È (0,+¥). Dan range f adalah (0,+¥) atau  y > 0

grafik f akan membesar tanpa batas bilamana x mendekati 0, dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan, sehingga dikatakan:

Meskipun dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya sama-sama menuju ¥, akan tetapi  ¥ bukan suatu bilangan, maka dikatakan:

          (membesar tanpa batas atau tidak ada.)

b.     

1

0

1

2

3

x

-1

-2

-3

y

-1

-2

-4

f(x) = ,  x>0

f(x) = ,  x<0

Gambar 5

g(x) =  

Perhatikan bahwa nilai f(x)  akan mengecil tanpa batas bilamana x semakin dekat ke nol, baik dari kiri maupun dari kanan, maka kita katakan

(tidak ada)

B.     Kontinyuitas

·      Suatu fungsi dikatakan kontinyu apabila grafiknya berupa kurva yang tidak patah.

·      Suatu fungsi f(x) adalah  kontinu untuk x = a, jika :

§  f(a) tertentu

§  ada dan terhingga

§ 

·      Apabila salah satu syarat diatas tidak dipenuhi, maka fungsinya tidak kontinu atau disebut juga diskontinu.

·         Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai  sama dengan , kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun  tidak terdefinisikan akan tetapi  mungkin ada. Apabila  =  maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Definisi 2.1 Fungsi f dikatakan kontinu di  jika

 

Definisi 2.1 di atas secara  implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:     

 (i).  f(a) ada atau terdefinisikan,

  (ii).   ada, dan

            (iii).

            Secara grafik, fungsi f kontinu di  jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada Gambar, f kontiynu di x₁ dan di setiap titik di dalam  kecuali di titik-titik x₂, x₃, dan x₄. Fungsi f diskontinu di x₂ karena  tidak ada, diskontinu di x₃ karena nilai tidak sama dengan nilai fungsi di x₃ (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x₄ karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.  

                                                                                        

°

 

°

°

                                                                                                      

·

                                                                      

a         x1                x2           x3         x4                                  b

                                                                                   

                                                                                                       

Gambar  9

                                                                                                                                                                                                                                                                    

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.   

Contoh 9

(a). Fungsi f dengan rumus  diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh    diskontinu di x = 0  sebab   tidak ada.

(c). Fungsi g dengan defini  

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab =3

C.    Deret mac Laurint

            Misalkan

Masukan

Differensialkan

Masukan

Differensialkan 

Masukkan

Differensialkan

Masukkan

Dan seterusnya….. sehingga diperoleh:

                           Deret Laurent

Contoh :

1.                  perderetkan dalam deret maclaurin

jawab:

Maka

D.    Deret Taylor

            Rumus deret taylor diturunkan dari deret maclaurin, dimana deret maclaurin adalah:

Maka untuk mendapatkan rumus taylor tersebut,dapat dicari dengan memisalkan sebuah fungsi dalam koefisien differensialnya dititik x=0 yakni dititik k(lihat gambar)

f(a)

Y

f(h)

Y=f(x)

 

P

                                                                                               

                       K

0

                        

                                                   h

maka dititik P:f(h)

jika kita geserkan sumbu y sejauh a kekiri, maka

Y=f(x)

F(a+h)

                                                                                               

P

k

                      

F(a)

                        

                                                   h

0

 

            Maka persamaan kurvanya terhadap sumbu yang baru menjadi y=f(x+a) dan harga dititik K sekarang menjadi f(a), sehingga dititik P:f(a+h)

jika a=x maka deret umum taylor menjadi