ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

ANALISIS REGRESI KORELASI

      Analisis regresi mempelajari bentuk hubungan antara satu atau lebih peubah bebas (X) dengan satu peubah tak bebas (Y). dalam penelitian peubah bebas ( X) biasanya peubah yang ditentukan oelh peneliti secara bebas misalnya dosis obat, lama penyimpanan, kadar zat pengawet, umur ternak dan sebagainya. Disamping itu peubah bebas bisa juga berupa peubah tak bebasnya, misalnya dalam pengukuran panjang badan dan berat badan sapi, karena panjang badan lebih mudah diukur maka panjang badan dimasukkan kedalam peubah bebas (X), sedangkan berat badan dimasukkan peubah tak bebas (Y). sedangkan peubah tak bebas (Y) dalam penelitian berupa respon yang diukur akibat perlakuan/peubah bebas (X). misalnya jumlah sel darah merah akibat pengobatan dengan dosis tertentu, jumlah mikroba daging setelah disimpan beberapa hari, berat ayam pada umu tertent dan sebagainya.

      Bentuk hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas (Y) bisa dalam bentuk polinom derajat satu (linear) polinom derajat dua (kuadratik). Polinim derajat tiga (Kubik) dan seterusnya. Disamping itu bisa juga dalam bentuk lain misalnya eksponensial,logaritma,sigmoid dan sebagainya. Bentuk-bentuk ini dalam analisis regresi-korelasi biasanya ditransformasi supaya menjadi bentuk polinom.

      Dalam bentuk yang paling sederhana yaitu satu eubah bebas (X) dengan satu peubah tak bebas (Y) mempunyai persamaan :

      Y =a +bx

Disini a disebut intersep dan b koefisien arah

      Dlam pengertian fungsi persamaan garis Y + a +bx hanya ada satu yang dapat dibentuk dari dua buah titik denagn koordinat yang berbeda yaitu ( X₁, Y₁) dan X_2,Y₂). Hal ini berarti kita bisa membuat banyak sekali persamaan garis dalam bentuk lain melalui dua buat titik yang berbeda koordinatnya/tidak berimpit.

      Persamaan garis melalui dua buah titik dirumuskan sebagai berikut :

            Y

	Y=a+bx

 

   X    

Sebagai contoh misalnya titik A (1,3) dan titik B ($,9) maka persamaan gais linear yang dapat dibuat adalah :

(Y-3)(4-1) =(X-1) (9-3)

3Y-9 = 6X-6

3Y = 3 +6X                             Y=1+2X

Dalam bentukmatrik bisa kita buat persaman sebagai berikut :

            Y₁ = a + b X₁

            Y₂ = a + b X₂

           

           

           

           

           

Jadi a=1 dan b=2 sehingga persamaannya Y=1 +2X

Jika jumlah data sebanyak n maka persamaannya sebagai berikut ;

           

            i= 1,2,3,…..n

disini β_o adalah penduga a, β₁ adlah penduga b dan ε_i merupakan besarnya simpangan persamaan garis penduga. Semakin kecil nilai ε_i persamaan regresi yang diperoleh akan semakin baik.

Jadi kita dapat menuliskan pengamatan kita menjadi

…………………..

Dengan notasi matrik dapt ditulis sebagi berikut :

Jadi kita peroleh matrik Y,X,β dan ε dengan dimensi sebagi berikut :

Jika diasumsikan E(ε) = 0 maka E(Y) = Xβ

      Bila modelnya benar β merupakan enduga terbaik yaitu dengan jalan melakukan penggadaaan awal dengan X’ sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut :

X’Y=X’X   β

   ^{2x1          2x2    2x1}

Jadi β=(X’X)^-1X’Y

Disini(X’X)^-1 adalah kebalikan (inverse)dari matrik X’X

(X’X)^-1 =

Jadi

Contoh

      Seorang peneliti ingin mengetahui bentuk hubungan antara jumlah cacing jenis tertentu denagn jumlah telurnya pada usus ayam buras. Untuk tujuan tersebut diperiksa 20 ekor ayam dan ditemukan sebagai berikut :

Tabel 1 jumlah cacing dan jumlah telurnya pada usus ayam buras am buras.

No	Jumlah Cacing ( Xi)	Jumlah telurnya (Yi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	12 14 13 12 15 16 13 11 10 11 12 13 17 19 13 11 16 12 14 15	45 50 51 43 61 62 50 43 40 44 48 52 70 76 53 43 60 48 53 63
Total	269	1055
rataan	13,45	52,75

Dari data diatas kita bisa menghitung :

=12+14+13+…………………………+15=269

=45+50+51+……………………….+63=1055

=12²+14²+13²+……………………+15²=3719

=45²+50²+51²+……………………+62²=57449

=12x45+14x50+13x51+…………………+15x63=14604

Bila kita duga bentuk hubungan antara jumlah cacing (X)dan jumlah telurnya (Y) adalah :

Ŷ_i=β₀ +β₁X_i+ε_i

   i=1,2,3,……………………..,20

disini Ŷ_i adalah dugaan Y_i

jadi persamaan normalnya adalah :

                        X’Y =X’Xβ

Jadi Ŷ=-2,442 + 4,103 Xi,

Persamaan garis regresi Yi =-2,442 + 4,103 Xi bukanlah satu-satunya garis penduga untuk menyatakan hubungan antara jumlah cacing dengan jumlah telurnya. Sudah barang tentu masih banyak lagi bentuk persamaan penduga yang dapat dibuat misalnya dalam bentuk persamaan Yi=β_o+β₁X_i+β₂X_i²,Yi=β_oX_i^β1 ( dalam bnetuk linear LnYi=Ln β_o+β_iLnXi)dan masih banyak lagi bentuk yang lainnya

Untuk menyatakan apakah garis yang diperoleh cukup baik untuk menggambarkan hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas(Y) dapat dilakukan pengujian bentuk model yang digunakan dan keeratan hubungannya (korelasinya) untuk menyatakan ketepatan dan ketelitian persamaan garis regresi yang diperoleh.

Garis regresi yang kita peroleh akan selalu melalui rata-rata peubah X dan Y (X,Y)maka dapat dijelaskan seperti gambar dibawah ini

β0

ỹ

Ỹ

(Yi-Ў.)=(ỹ- Ў.)(Yi- ỹ)

Ỹ = β0 + β1Xi

Yi

(Xi,Yi)

Dengan metode kuadrat terkecil maka kita peroleh :

Dari persamaan diatas maka diperoleh :

JK total =

JK Regresi =

JK Galat =

Sedangkan=

      Untuk menetukan apakah garis regresi yang kita peroleh cukkup dapatdipercaya maka kita dapat mengujinya dengan uji F seperi tabel sidik ragam dibawah ini

Sumber keragaman	Derajat bebas	Jumlah kuadrat	Kuadrat tengah	F hitung	F tabel
					0,05	0,01
Regresi Galat	p n-1-p	JK R JK G	KTR KTG
Total	n-1	JK T

Jika hasil hitungan yaitu F hitung ()≥ dari F tabel (0,05; p,n-1-p) maka dapat disimpulkan persamaan garis regresi nyata (P<0,05) bentuk persamaannya seperti yang kita duga demikian pula jika F hitung ()≥ dari F tabel (0,05; p,n-1-p) maka dapat disimpulkan persamaan garis regresi sangat nyata (P>0,05) atau dengan kata lain persamaaan garis regresi tersebut tidak bisa kita terima sebagai penduga hubungan antara peubah (X) dengan Peubah (Y)

      Bila bentuk hubungan antar peubah X dengan peubah Y sudah dapat kita terima maka kita ingin pula mengetahui seberapa besar keeratan hubungannya(korelasinya). Walaupun bentuk hubungan antara peubah X dengan peubah Y ada dalam bentuk yang benar belum tentu korelasinya bsar karena banyakpeubah  lain yang turut mempengaruhi perubahan peubah Y

      Besarnya perubahan peubah Y yang dapat diterangkan oleh peubah X dengan menggunakan persamaan garis regresi yang diperoleh disebut koefisien determinan

      Koefisien determinat diberi lambing r² untukbentuk persamaan garis regresi sederhana dan R² untuk  bentuk persamaan lainnya, besarnya 0<r² =R²<1 dan dihitung dengan rumus :

Jadi koefisien korelasinya : r =R=

Dari tabel 1 kita dapat menghitung

JK Total =

               = 57449-55651,25=1797,75

JK Regresi = (X’Y)’β   (1055)(2,442)+ (14606)(4,103) – 55651,25

                                                        =1692,625

.JK Galat = JK total- JK Regresi =

                   = 1797,75-1692,625=105,098

Jadi tabel sidik ragamnya adalah :

Sumber keragaman	Derajat bebas	Jumlah kuadrat	Kuadrat tengah	F hitung	F tabel
					0,05	0,01
Regresi Galat	1 18	1692,652 105,098	1692,652 5,839	289,89	4,41	8,29
Total	19	1797,750

Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan garis regresi yang diperoleh sangat nyata (P<0,01) karena F hitung> F tabel pada taraf signifikansi 0,01 (289,89>8,29)

Jadi

Jadi dengan menggunakan persamaan garis regresi penduga Yi =-2,442 + 4,103 Xi banyaknya jumlah telur cacing pada usus ayam buras sekitar 94,15 % ditentukan oleh banyaknya cacing dalam usus tersebut sedangkan 5,85 % ditentukan atau dipengaruhi oleh factor lain.

      Jadi kereratan hubungan (r=±√0,9415=0,9703­) dalam persamaan ini diambil hanya r positip karena dengan bertambah besarnya nilai Xi nilai Yi juga meningkay. Untuk menyatakan apakah hubungan cukup berarti maka besarnya r ini dapat kita bandingkan dengan r tabel.

      Jika r hitung ≥ r tabel (0,05:p,db=n-p-1) maka disimpulkan keeratan hubungannya nyata (P>0,05) dan jika r hitung≥r tabel (0,01;p,db=n-p-1)maka disimpulkan keeratan hungannya sangat nyata (P<0,01) sedangkan jika r hitung< r tabel (0,05;p,db=n-p-1) maka disimpulkan keeratan hubungannya tidak nyata (P<0,01)

      Bila persamaan garis regresi derajat polinomnya atau peubah bebasnya (X) lebih besar dari satu maka perlu dilakukan pengujian terhadap koefisien garis regresinya (β_j yaitu β_1,β_{2,…………,}β_p), untuk mengetahui β_j yang mana yang menentukan ketepatan dan ketelitian garis regresinya yang diperoleh.

      Misalkan terdiri dari p peubah bebas maka modelnya menjadi Yi = β_o + β₁X_i1+………..+β_pX_ip dengan persamaan normalnya :

            disini d=p+1

                        Jadi :β= (X’X)^-1X’Y

Jika elemen-elemen matrik X kita kurangi dengan rata-rata elemen-elemen tiap kolomnya maka diperoleh matrik X_A. sebagai contoh kita untuk p=2 maka matriknya adalah sebagai berikut :

Biasanya ditulis :

Untuk menguji β_i kita cari kekalikan dari matriks X_AX_A^-1kemudian kita gandakan dengan regresi yaitu maka pengujian β_i dapat dilakukan dengan rumus :

     

Disini √Sbi adalah elemen-elemen diagonal matrik X_AX_A^-1 yang telah digandakan dengan regresi

Contoh

Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara dosis oba tertentu (X) dengan kadar Creatinin Ginjalnya (Y) dari hasil peneitiannya diperoleh hasil sebagai berikut :

Data hasil penelitiannya sebagai berikut:

No	Dosis Obat mg (Xi)	Kadar Creatinin % (Yi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	1 2 3 4 5 7 3 2 4 6 7 8 8 1 3	10 13 15 20 16 11 14 12 21 17 10 7 6 11 16

Jawab

      Dari data yang diperoleh diduga bentuk persamaan garis regresinya Yi =β₀ +β₁Xi +β₂X₁²+εi

Jadi persamaann normalnya adalah X’Y=X’X β

Jadi persamaan garis regresinya adalah:

Ŷi=3,36313 + 6,77799Xi -0,80123X

JK total =

            = 2903-2640,067=262,933

JK Regresi =(X”Y)’

                  =

                  = 669,263 +5442,726 -3248,988-2640,067

                  = 222,934

JK Galat == JK total – JK Regresi

            = 262,933-222,934 =39,999

Jadi tabel sidik ragamnya adalah :

Sumber keragaman	Derajat bebas	Jumlah kuadrat	Kuadrat tengah	F hitung	F tabel
					0,05	0,01
Regresi Galat	2 12	222,934 39,999	111,476 3,333	33,44	3,89	6,93
Total	14	262,933

Disini = KT Galat =3,333

Jadi dapat kita simpulkan bahwa persamaan garis regresi yang diperoleh sangat nyata (P<0,01) karena F hitung > f tabel pada taraf signifikasi 0,01(33,44>8,93)

Jadi

Maka R =√0,8479=0,9208

Bila kita bandingkan dengan R_{0,01(db=2;12)}=0,732 maka disimpulkan korelasinya sangat nyata (P<0,01)

      Untuk menguji β₁dan β₂ maka dicari matrik X_AX_A dan kebalikkanya (X_AX_A-1)

JK X =

        = 356 – 273,0667 = 82,9333

JK X² =

            = 15703 -8449,0667 =7253,9333

JK XX² =

             = 2278-

            = 2278 – 1518,9333 =759,0667

X’_AX_A =

X_AX_A^-1

                       

Untuk  maka

Untuk  maka

Bila kita bandingkan t_{0,005(db=n-p-1=12)}=3,055 t_H untuk β₁ dan β₂ lebih besar dari t tabel 0,01 maka disimpulkan koefisien garis regresinya sangat nyata (P<0,01)

dar creatinin Darah (%)

Y = 3.36313 + 6.77799X – 0.80123X2