Perkembangan Matematika Gerik

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Sejarah dapat didefinisikan sebagai "record of the whole human experience". Dimana pada hakikatnya sejarah merupakan catatan seluruh pengalaman, baik secara individu maupun kolektif bangsa/nation dimasa lalu tentang kehidupan umat manusia. Khususnya Matematika, memiliki masa dimana awala ditemukan, alat-alat peninggalan, beserta perkembangannya. Sehingga tim penyusun ingin mempresentasikan  materi yang menjadi judul makalah ‘Perkembangan Matematika Gerik Mengakhiri Masa Purbakala’.

1.2. Tujuan Makalah

Adapun tujuan dari makalah ini adalah

a.  Menambah wawasan tentang perkembangan matematika gerik mengakhiri masa purbakala

b. Menambah pengalaman bagi tim penyusun

c.  Melatih ketanggapan terhadap sejarah dari matematika

1.3. Manfaat Makalah

Manfaat dari makalah ini adalah

a) Menambah wawasan tentang dunia sejarah matematika

b) Menyegarkan pikiran tentang sejarah matematika

BAB II

PEMBAHASAN

PERKEMBANGAN MATEMATIKA GERIK MENGAKHIRI MASA  PURBAKALA

2.1. Catatan Sejarah Umumnya

Masa damai yang cukup lama, dan selama dinasti Ptolemeus menguasai Mesir, kemajuan dan kebudayaan Mesir berkembang pesat. Letak Alexandria sebagai kota persinggahan lalulintas perdagangan dikawasan Laut Tengah. Universitas Alexandria pun memegang peran pula dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan matematika pada khususnya.

Ekspansi kerajaan Romawi untuk merebut Hegemoni dikawasan Laut Tengah menimbulkan peran yang berkepanjangan dari tahun 264 – 146 BC. Syracuse ditaklukkan pada tahun 212 BC dan Kartoge pada tahun 146 BC.

Walaupun Mesir sudah ditaklukkan Romawi, namun tetap dibawah kekuasaan dinasti Ptolemeus hingga tahun 30 BC dengan Kleopatra sebagai dinasti terakhir. Peperangan, pajak yang amat berat oleh pemerintahan Romawi menyebabkan ilmu pengetahuan tidak berkembang lagi. Akhirnya Universitas Alexandria menjadi pudar pada akhir masa purbakala. Dan pada tahun 641 AD Alexandria jatuh ke tangan bangsa Arab.

2.2. Archimedes ( 287 – 212 BC )

(1) Riwayat Kehidupannya

Archimedes lahir tahun 287 BC di Syracuse pulau Sicilia yang menjadi koloni Gerik, putra dari Hieron seoranga raja dan ahli bintang dari pulau itu. Barangkali ia belajar di Universitas Alexandria sebab ia bersahabat dengan Erasthothenes murid dari Euclides.

Archimedes dipandang sebagai ahli matematika sepanjang sejarah dan yang terbesar pada masa purbakala. Ia menciptakan alat – alat perang melawan serbuan Jenderal Marcellus dn tentara Romawi. Menurut ceritanya ia menciptakan ketapel besar sebagai alat penembak jitu, alat pengangkut beban berat yang menjatuhkan batu – batu besar ke atas kapal – kapal perang Romawi. Ia menciptakan derek yang dapat mengangkat kapal – kapal perang Romawi yang sandar dekat tembok Syracuse.

Cerita tentang penemuan hukum Hidrostatika. Ketika ia diserahi raja Heron menguji kemurnian mahkota emas dari raja itu. Ketika pikirannya terpusat pada persoalan mahkota itu diwaktu mandi ia temukan hukum Hidrostatika.

Pada saat tentara Romawi memasuki Syracuse pada tahun 212 BC ia sedang melukis diagram geometri diatas talam pasir. Ia menyuruh tentara Romawi melihat diagramnya, dan mengakibatkan tentara itu marah dan langsung menembak Archimedes.

(2) Karya – karya Archimedes

Dapat disebut beberapa karnyanya yang terkenal dengan judul

1. Pengukuran Lingkaran

Dalam buku ini Archimedes menguraikan Metode Klassik untuk menentukan pendekatan nilai π

2. Bujur Sangkar Parabola

Buku ini berisi 24 Dalil, diantaranya membktikan bahwa luas suatu segmen parabola sama dengan 4/3 x Luas segitiga yang alasnya tali busur parabola itu, sedang titik sudut puncak segitiga adalah titik singgung garis sejajar dengan alas segitiga itu. Dalam buku ini terdapat rumus – rumus untuk jumlah deret geometri.

3. Tentang Spiral

Buku ini berisi 28 Dalil mengenai sifat – sifat kurva spiral yang dikenal sekarang sebagai spiral Archimedes dengan persamaan polar  r = kθ.

Diberikan pula cara behitung luas daerah yang diapit oleh dua jari – jari vektor titik dari kurva itu.

4. Liber Assumptorum

Tiruan dari karya – karyanya dalam geometei dalam bidang dikumpulkan dalam buku ini. Dalamnya terdapat rumus luas segitiga dinyatakan dengan ½ keliling dan segitiga itu yakni rumus 

5. Tentang Bola dan Tabung

Dalam buku ini terdapat 60 Dalil untuk menghitung luas bola dan bagian – bagiannya. Menghitung isi bola, dan bagian – bagiannya.

6. Tentang Konoida dan Sferoida

Di dalam buku ini terdaat soal – soal membagi bola sehingga volume segmen bola dengan perbandingan yang ditentukan. Persoalan yang mengahasilakan persamaan pangkat 3 dengan penyelesaiannya diberikan oleh Eutocues dalam tulisan lain. Terdapat 40 dalil dalam buku ini mengenai isi benda putaran yang terbentuk oleh kurva dearajat dua.

7. Penghitungan Mesir

Buku ini diperuntukkan bagi Gelon putera raja Heron. Isinya mengenai aritmatika yang menyajikan bilangan – bilangan besar, menentukan batas atas dari banyaknya butir pasir mengisi suatu bola yang berputar di pusat bumi dan jari – jarinya sampai ke matahari.

8. Tentang Kesetimbangan Bidang

Buku ini berisi 25 dalil. Uraian mengenai sifat sederhana dari titik berat, dan penentuan titik berat bangun – bangun datar. Diantaranya penemuan titik berat suatu segmen parabola yang dibatasi oleh dua tali busur sejajar.

9. Tentang Benda Mengapung

Buku ini berisi 19 dalil. Uraian antara lain mengenai pemakaian matematika pada Hidrostatika, dan hukum ini ditemui pada pelajaran fisika sekolah lnjutan sekarang.

10. Metoda

Karya Archimedes paling mengagumkan menurut zaman modern adalah tulisan dalam judul metoda. Karya itu ditemukan oleh Herberg pada tahun 1906 di Konstantinopel.

2. 3. Eratosthenes

Ia adalah orang kirene, menerima pendidikan di Athena. Padausia 40 tahun ia pindah ke Alexandria atas panggilan Ptolemeus III. Oleh Ptolemeus diserahi tugas melatih putranya, dan diberi jabatan menjadi kepala perpustakaan Universitas Alexandria.

Mungkin karena ia menguasai berbagai bidang ilmu pengetahuan pada masa itu seperti ahli bintang, ahli ilmu bumi, sejarah, matematika dan sastra, maka ia tidak pernah mencapai puncak kemasyurannya. Di antara karyanya yang dapatdisebut ialah alat melipatduakan yang sudah diuraikan dalam fatsal yang lalu.

Karya lain adalah saringan Erastosthenes untuk mendapatkan semua bilangan prima yang kecil dari suatu bilangan yang ditentukan. Misalnya semua bilangan prima kecil dari 62.

Caranya sebagai berikut :

Ditulis semua bilangan ganjil mulai dari 3 sampai 62, yakni :

3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29
31	33	35	37	39	41	43	45	47	49	51	53	55	57
59	61

Pertama disaring bilangan komposit kelipatan 3, kecuali 3.

Kemudian bilangan komposit kelipatan 5, kecuali 5. Demikian seterusnya kelipatan 7, 11,…

Dengan cara ini ada beberapa bilangan yang tercoret beberapa kali. Akhirnya terdapatlah bilangan-bilangan yang tak tercoret. Bilangan-bilangan ini bersama-sama dengan 2 adalah daftar bilangan prima kecil dari bilangan yang ditentukan.

Maka bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49,  53, 59, 61,...

2. 4. Apollonius

            Apollonius lahir pada 262 BC di Perga, Asia kecil sebelah selatan. Ia belajar di Universitas Alexandria menjadi murid dari Euclides. Pada masa itu juga terdapat suatu universitas meniru universitas Alexandria di Pergamum di Asia Kecil sebelah barat. Tercatat Ia pernah mengajar di Universitas itu. Kemudian kembali ke Alexandria dan meninggal disana200 BC.

            Ia adalah seorang ahli perbintangan namun menulis karya matematika. Karyanya yang terpenting adalah mengenai Irisan Kerucut yang dipelajari orang sampai sekarang. Bukunya tentang Irisan Kerucut terdiri dari 8 jilid berisi 400 dalil ataupun rumus.

JILID I :

Apollonius menenmukan Irisan kerucut baik dari kerucu ttegak atau pun kerucut condong. Adapun nama ellips, parabola, dan hiperbola berasal dari phythagoras sesuai dengan pengertian berikut :

Alas suatu persegi panjang diletakkan di atas suatu ruas garis, dengan satu ujung dari alas itu bertindih dengan satu ujung ruas garis tersebut, maka persegi panjang dalam kedudukan ellipsis terhadap ruas garis itu jika alasnya lebih pendek, parabola jika tepat sama, hiperbola lebih panjang dari ruas garis itu.

            Pemakaian pengertian ini kita perhatikan pada irisan kerucut pada gambar dibawah ini.          Y

                        B                    

         

                                    P(x, y)

                         A     Q      F                                  X

Titik P pada irisan kerucut, puncak di A sumbu AX, titik api F, latus rectum AB.

Tentukan suatu persegi panjang yang luasnya , dan sisinya AQ. Tempatkan persegi panjang itu pada AB. Sisi lain persegi panjang itu mungkin lebih pendek dari AB, maka irisan kerucut itu adalah ellips, jika sama adalah parabola, jika lebih panjang adalah hiperbola.

            Pengertian di atas dapat dinyatakan dalam susunan kordinat. Jikatitikpada irisan kerucut dengan latus rectum, p, maka

            Bila diameter ellips atau hiperbola yang melalui titik A adalah d maka persamaan ellips adalahdan persamaan hiperbola adalah

            Dari bentuk-bentuk persamaan irisan kerucut itu sebagian ahli-ahli matematika menyatakan bahwa geometri analitik adalah hasil penemuan ahli matematika gerik purbakala.

JILID II

            Dalam jilid II di uraikan mengenai sifat-sifat asimtot hiperbola, mengenai hiperbola bersekawan dan melukis garis singgung hiperbola.

JILID III

            Dalam jilid III terdapat beberapa teorema yang terkait dengan irisan kerucut. Diantara teorema itu yang masih di ajarkan di SLTA di Indonesia sampai tahun 1975 adalah mengenai letak empat titik harmonis antara suatu titik dan titik pada garis kutubnya dengan titik potong garis melalui kedua titik dengan irisan kerucut.

JILID IV

            Dalam jilid IV diuraikan teorema kebalikan dari teorema-teorema dalam buku III.

JILID V.

            Dalam buku V dijelaskan mengenai sifat-sifat normal irisan kerucut di suatu titik. Perhitungan mengenai panjang normal dan melukisnya juga dijelaskan. Juga sudah diuaraikan tentang evolut suatu irisan kerucut.

JILID VI

            Dalam buku ini diuraikan mengenai garis tengah bersekawan. Luas daerah jajar genjang pada garis tengah bersekawan. Teorema-teorema tersebut diatas masih diajarkan dalam pelajaran ilmu ukur analitik di SMA dan STM hingga tahun 1975.

            Selain 8 jilid buku tentang irisan kerucut terdapat enam karya lain. Diantara enam karya itu yang perlu disebut disini adalah judul “tempat kedudukan di bidang datar”. Di antara teorema yang dibahas dalam buku ini adalah teorema yang masih diajarkan atau terdapat dalam buku geometric analitik sekolah lanjutan. Teorema ialah tempat kedududkan titik-titik P yang perbandingan jaraknya kepada dua titik tetap A dan B adalah AP : BP =  k. Suatu konstanta adalah suatu lingkaran. Lingkaran ini disebut lingkaran Apollonius. Teorema lain dalam buku ini ialah : jika terdapat beberapa titik tetap A, B, C,….., dan konstanta a, b, c,…..dan k, maka TK titik P sehingga: a + b + c  + …. = k adalah suatu lingkaran.

2. 5. Heron ( ± 75 AD )

Tahun kelahirannya kurang jelas. Ia ahli dalam matematika, fisika dan teknik. Karya matematikanya terutama ditujukan untuk pemakaian teknik dan penyelidikan tanah. Kanya dalam geometri berjudul Metrica ditulis dalam tiga jilid.

(1)   Metrika jilid 1

Buku ini berisi uraian mengukur luas bujur sangkar, persegi panjang, segitiga, trapesium dan macam – macam segi empat secara khusus, segi banyak beraturan hingga segi duabelas beraturan juga membicarakan pengukuran luas lingkaran dengan segmen – segmennya, luas elips dan segmen – segmennya. Ia menemukan metode menentukan pendekatan dari akar suatu bilangan yang bukan bilangan kuadrat. Sebut suatu bilangan n = pq dengan p < q. Pendekatan pertama , artinya sudah lebih dekat ke  daripada ke p dan q.

Pendekatan kedua            :   

Pendekatan ketiga            :   

Demikian seterusnya pendekatan kepada n dapat dilakukan menurut keperluannya.

(2)   Metrika Jilid 2

Dalam buku ke dua ini diuraikan pengukuran isi dari kerucut, tabung, prisma, paraleleipedum piramida, piramida terpancung, kerucut terpancung, bola dan segmen bola dan benda bidang banyak beraturan.

(3)   Metrika Jilid 3

Dalam buku ini dibicarakan bagian isi dari benda – benda geometri atas perbandingan tertentu.

(4)   Pneumatica

Sebagai ahli teknik, dalam buku ini membicarakan lukisan 100 mesin dan pesawat seperti pipa penyedot, mesin api, organ angin.

(5)   Dioptrica

Dalam buku ini dibicarakan sifat – sifat sederhana dari cermin, dan lukisan bayangan cermin.

2.6. Diophantus ( ± 75 AD )

Tahun kelahirannya tidak jelas tetapi dibesarkan di Alexandria. Diantara karya – karyanya terdapat judul – judul Aritmatica, tentang bilangan, poligon dan porisms. Aritmetic berasal dari dua kata Gerik, arithmas = bilangan, techne = limit. Bukti menguraikan cara analitik teori bilangan aljabar, dan buku ini terdiri dari 13 jilid. Dalam buku ini terdapat berbagai jenis soal yang diselesaikan dengan persamaan derajat satu, derajat dua dan derajat tiga.

Ahli – ahli matematika pada zaman – zaman berikutnya tertarik pada soal – soal diophantin dan melengkapinya. Diantara ahli – ahli itu seperti viete, bachet, fermap, euler dan lagragne.

Diophantus mulai menggunakan singkatan untuk menyelesaikan soal – soal aljabar. Maka aljabar yang diciptakan oleh Diophantus disebut aljabar sinkopasi atau aljabar singkatan ( synopatedalgebra ).

Singkatan atau notasi diberikan pada peubah, pada pangkat, penjumlahan, pengurangan dan kebalikan. Contoh dari notasi atau lambang aljabar yang diberikan dapat diusut sebagai singkatan dari kata yang digunakan, misalnya pangkat dua dari perubah ditulis sebagai ∆ γ yaitu singkatan dari dunamis atau pangkat dalam tulisan gerik ialah : ∆ γ N A M I Ʃ

Pangakat dari peubah diambil dari singkatan kubos dalam tulisan gerik K γ B O Ʃ yaitu K pangkat γ.

Pangakat 4 sebagai pangkat 2 dari pangakat 2 dengan notasi ∆ pangkat γ ∆.

Pangkat 5 sebagai pangkat 3 dari pangkat 2 ditulis ∆ K pangkat γ. Pengurangan ditulis dengan lambang Λ yakni singkatan dari leipes berarti kurang ditulis dengan tulisan gerik Λ E ] ѱ ] Ʃ

Penjumlahan menurut urutan penulisan peubah.

Peubah berpangkat 1 ditulis dengan lambang Ʃ ( sigma ). Konstanta ditulis dengan lambang M singkatan dari monades ( satuan ) M O N A ∆ E Ʃ, dan ditulis bersama dengan bilangan huruf. Suku – suku positif ditulis lebih dahulu disusul semua suku negatif.

2. 7. Pappus (±300 AD)

            Perkembangan geometri gerik yang begitu pesat oleh euclides, archimedes dan Appolonius masih di lanjutkan pappus.

Karya besar pappus adalahkumpulan matematika yang terdiri dari 8 jilid.

            Penemuan penemuan pappus yang terus di ajarkan di sekolah hingga sekarang antara lain adalah teoremat titik berat.dalil ini dikenal sebagai dalil pappus Guldin.

Teorema teorema yang terdapat pada jilid-jilid pada pappus kemudian menjadi dasar dari geometri proyektif.

                                                       o

 

                                                                                        D            g₁              

                                                     C                                B

                                     A

                                                                                                               g₂

                                                           Gambar 2.9

Pada gambar 2.9 terdapat 4 sinar mealui titik O, di potong oleh dua garis yang disebut transversal  berturut turut memotong sinar itu di A,C,B,D dan  ,.

Perbandingan rangkap   ditulis sebagai (A,B,C,D) maka menurut teorema pappus (A,B ;C,D) = (.

2. 8. Catatan Sejarah bilangan Prim

            Teorema pokok dalam aritmatika mengatakan dalam bilangan bilangan prim adalah unsur bangunan bilangan bulat didirikan. Oleh karena itulah banyak peneliti melakukan penelitian zaman purbakala hingga munculnya komputer.

             Erathostenes menemukan saringan untuk menemukan barisan bilangan prim dalam barisan bilangan ganjil yang kecil yang kecil dari dari  suatu bilangan tertentu.pada tahun 1570 Ernst meissel menemukan banyaknya bilangan prim di bawah  adalah 5.761.455 buah.

Komputer lain menemukan untuk n= 521, 607 , 1279 , 2203, 2281, 3217 , 4253 , 4423 adalah bilangan prim.namun hingga sekarang belum di temukan suatu cara umum menguji apakah suatu bilangan itu prim atau tidak. Tetapi beberapa fungsi ditemukan untuk menyusun suatu barisan bilangan prim dengan batas tertentu. Diantaranya adalah sebagai berikut.

1.     

2.     

3.     

4.      Pada tahun 1947, W.H. Melss membuktikan terdapat suatu bilangan prim

Terbesar tidak akan lebih dari  untuk n bilangan cacah tetapi besarnya R itu tidak ia tentukan.

2. 9 Trigonometri Gerik

Tidaklah jelas dimana asal dari trigonometri itu. Penelitian atas tabel Plimpton menunjukkan terdapat kolom yang memba nilai dari  yang dikenal dalam trigonometri sekarang sebagai nilai secans sudut dari segitiga siku – siku.

Barisan bilangan pada kolom loh plimton yang sebagian telah rusak itu ternyata merupakan nilai dari secans sudut dari  hingga . Maka ada dugaan terdapat tabel Babilonia itu untuk secans dari sudut  sampai dengan .

Perkembangan astronomi Babilonia melahirkan trigonometri. Mungkin astronomi babilonia sampai ke Gerik dan berkembang di sana, dan melahirkan trigonometri bola pada permulaannya.

1)      Hipparchus

Hipparchus ( seorang ahli perbintangan termasuk pada masanya. Ia melakukan pengamatan perbintangan di obseyatodam, terkemuka pada masa itu di pulau Rhodes. Ia seorang pengamat yang amat teliti dlam perhitungan panjang rata-rata putaran bulan, perhitungan inklamasi ekliptik, perhitungan perubahan waktu siang dan malam, kecermatan perhitungan hingga pendekatan satu detik.

Kemampuan dan kecermatannya menghitung perbedaan sudut lihat bulan ( parallax ), menetukan titik terdekat bulan dari bumi adalah mengagumkan. Ia sudah menentukan letak 850 bintang tetap dalam ruang bola langit.

Hipparchus atau Hipscles  barangkali yang memperkenalkan pembagian lingkaran atas . Dari Hipparchuslah asal penetuan letak tempat di bumi dengan lingkaran bintang dan bujur. Kecakapan Hipparchus inilah dianggap sebagai awal perkembangan trigonometri.

Menurut Theon dari Alexandria terdapat 12 risalat mengenai tabel tali busur yang disusun oleh Hipparchus. Tabel yang kemudian disusun oleh Ptolemeus dipastikan diambil dari tabel Hipparchus itu. Satuan pengukuran panjang tali busur suatu lingkaran adalah  bagian dari jari – jari lingkaran itu. Panjang tali busur di hadapan sudut pusat lingkaran diukur dengan satuan itu. Misalnya, tali busur di hadapan  kalau ditulis sebagai singkatan dalam bahasa Indonesia menjadi tb  kalau dipakai singkatan cord sebagai crd dalam bahasa inggris maka ditulis crd

Dipakai singkatan tb  artinya panjang tali busur di hadapan sudut  adalah  ( pengukuran dalam basis enam puluh ). Hubungan dari daftar Ptolemeus itu dengan daftar sinus yang dikenal sekarang dapat kita periksa seperti pada gambar 30 di bawah ini.

                      C

 

                                              A

 

( d = diameter lingkaran)

Karena panjang diameter adalah 120 satuan dan tali busur AC d hadapan sudut , maka hubungan di atas ditulis menjadi :

Tabel Ptolemeus dalam selang  tersusun antara  sampai  dapat disetarakan sebagai daftar snus sudut – sudut yang bersesuaian.

Dan cara Ptolemeus itu hampir sama dengan yang terdapat dalam risalat Hipparchus. Uraian – uraian dalam risalat itu sesuai dengan persoalan – persoalan geometri dalam segitiga bola siku –siku.

2)        Menelaus

Menelaus adalah salah seorang ahli matematika dari Alexandria. Ia menulis tiga jilid buku berjudul Sphaerica. Isi buku itu terutama menguraikan trigonometri Gerik. Jilid 1, berisi uraian tentang segitiga bola. Kalau buku Euclides telah menguraikan teorema segitiga dalam bidang datar,  maka ia menyusun teorema tentang segitiga bola.

Teorema mengenai kongruensi, sama kaki dari segitiga bola. Berbeda dengan segitiga di bidang datar, bahwa dua segitiga bol adalah kongruen bila sudut – sudutnya sama.

  Jlid II, buku itu berkaitan dengan teorema untuk keperluan ilmu perbintangan. Jilid II, berisi uraian untuk pengembangan teorema pada trigonometri segitiga bola. Siswa – siswa, di sekolah lanjutan mengenal ia dari dalil Menelaus pada pelajaran geometri bidang.

Pada gambar 31, suatu garis g sebgai transversal memotong sisi AC, BC, dan AB berturut – turut di titik D, E, dan F, maka  . Dalil yang beranalogi dengan dalil itu pada segitiga bola adalah sebagai berikut.

Jika suatu lingkaran besar mennjadi transversal dari suatu segitiga ABC, memotong AC, BC dan AB berturut – turut di titik D, E dan F maka:  

3)      Ptolemeus (Tahun

Claudius Ptolemeus adalah ahlimatematika dari Alexandria. Karyanya yang terpenting berupa kumpulan matematka dengan judul Syntaxis Mathematica. Buku ono lebih terkenal dalam terjemahan bahasa Arab dengan judul “Almagest”. Buku ini tergi atas 13 jilid. Di dalam buku ini terkumpul secara teratur rapi dan padat hasil karya dari Hipparchus.

Jilid I :

            Buku I berisi pendahuluan pelajaran astronomi, daftar tali busur seperti telah diuraikan tadi sebagai kelanjutan dari daftar Hipparchus. Dari buku ini kita kenal dalil Ptolemeus yang terdapat dalam buku – buku geometri Sekolah Lanjutan. Dalil itu berbunyi : Hasil kali diagonal suatu seigempat tali busur sama dengan jumlah hasil kali sisi – sisi berhadapan.

            Sedikit catatan tentang jilid lain, dalam buku VI, diberikan teori terjadinya gerhana. Ia memberi pendekatan 4 tempat desimal pada . Dalam buku VII dan VIII terdapat nama – nama dari 1028 bintang tetap. Maka dapat dikatakan bahwa buku Almagest menjadi buku pegangan utama ilmu perbintangan hingga munculnya teori Copernicus dan Kepler.

BAB III

PENUTUP

3.1.Kesimpulan

Dari uraian yang telah dijelaskan diatas dapat disimpulkan bahwa terjadi perkembangan matematika yang dimulai dari zaman purbakala, masa akhir purba kala, hingga saat ini. Hal ini menyebabkan matematika menjadi ilmu yang dapat berkembang  dalam situasi masa/ zaman tertentu tanpa meninggalkan sejarah terciptanya matematika tersebut.

3.2.SARAN

Supaya makalah ini dapat menjadi sumber referensi bagi pembacanya, untuk mengetahui cikal-bakal berkembangnya matematika.
Jika terdapat temuan baru yang dapat mengembangkan isi dari makalah ini, supaya dapat menyunting isi dari laporan makalah ini.

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

1.      Sitorus, J. (1990).Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah.Bandung:Tarsito

2.      Dari www.wikipedia.com (http://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus_of_Alexandria)

3.      Dari www.wikipedia.com

(http://en.wikipedia.org/wiki/Hipparchus_%28disambiguation%29)

4.      Dari www.google.co.id

(http://www.ies.co.jp/math/java/vector/menela/menela.html)