REPRESENTASI

A.      Representasi

Menurut NCTM (dalam Teacher Professional Development and Classroom Resaurces Across the Curriculum), representasi membantu menggambarkan, menjelaskan, atau memperluas ide matematika dengan berfokus pada fitur-fitur pentingnya. Representasi meliputi simbol, persamaan, kata-kata, gambar, tabel, grafik, objek manipulatif, dan tindakan serta mental, cara internal berpikir tentang ide matematika. Kemampuan Representasi Matematik  adalah kemampuan siswa untuk mengemukakan ide matematika  dalam  suatu konfigurasi yang dapat menyajikan sesuatu hal dalam suatu cara tertentu (Irwandi,2012).

Kalathil dan Sherin (dalam Kartini,2009)  menyatakan bahwa segala sesuatu yang dibuat siswa untuk mengekternalisasikan dan memperlihatkan kerjanya disebut representasi. Jones & Knuth (dalam Fadilah,2008)  Representasi adalah model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah atau aspek dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi, sebagai contoh, suatu masalah dapat direpresentasikan dengan obyek, gambar, kata-kata, atau simbol matematika.

Berdasarkan beberapa definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa representasi adalah ungkapan-ungkapan dari bahasa matematika yang ditampilkan siswa sebagai model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi dari masalah yang sedang dihadapinya sebagai hasil dari interpretasi pikirannya.

B.       Standar Representasi

Adapun standar representasi yang ditetapkan National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) untuk program pembelajaran dari pra-taman kanak-kanak sampai kelas 12 adalah bahwa harus memungkinkan siswa untuk:

1.    membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, mencatat, dan mengkomunikasikan bahasa/simbol matematika,

2.    memilih, menerapkan, dan menterjemahkan antar representasi matematika untuk memecahkan masalah,

3.    menggunakan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan matematika.

C.       Bentuk-bentuk Operasioanl Representasi

Sejalan dengan standar representasi menurut NCTM, beberapa representasi yang dapat digunakan dalam mengkomunikasikan matematika antara lain tabel, gambar, grafik, persamaan atau notasi matematis, serta menulis dengan bahasa sendiri, baik formal maupun informal.  Mudzakir (dalam Suryana,2012) pada penelitiannya mengelompokkan representasi matematis ke dalam tiga ragam representasi yang utama, yaitu

1) representasi visual berupa diagram, grafik, atau tabel, dan gambar;

2) Persamaan atau ekspresi matematika; dan

3) Kata-kata atau teks tertulis.

Dalam menyelesaikan suatu  masalah yang terkait dalam representasi siswa setidaknya harus memenuhi tiga bentuk operasional sebagai berikut:

No	Representasi	Bentuk bentuk Operasional
1	Representasi visual a) Diagram, tabel, atau grafik	·      Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi diagram, grafik, atau tabel ·      Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah
	b) Gambar	·      Membuat gambar pola-pola geometri ·      Membuat gambar untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaiannya
2	Persamaan atau ekspresi matematis	·      Membuat persamaan atau model matematika dari representasi lain yang diberikan ·      Membuat konjektur dari suatu pola bilangan ·      Menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis
3	Kata-kata atau teks tertulis	·      Membuat situasi masalah berdasarkan data atau representasi yang diberikan ·      Menuliskan interpretasi dari suatu representasi ·      Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematika dengan kata-kata ·      Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan ·      Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis

Simbol, bagan, grafik, dan diagram merupakan metode yang sangat baik untuk menyajikan ide-ide dan hubungan dalam matematika. Simbol, bersama dengan alat peraga seperti bagan dan grafik, harus dipahami oleh siswa sebagai cara untuk mengkomunikasikan ide-ide dalam matematika kepada orang lain (Van de Walle, 2008). Mengubah satu penyajian ke dalam bentuk penyajian yang lain merupakan cara yang penting untuk menambah pemahaman terhadap suatu ide.

D.      Peranan Representasi dalam Matematika

Representasi digunakan secara luas dalam bidang kajian matematika karena representasi dapat membantu guru dan siswa untuk mengembangkan, berbagi, dan menyajikan situasi masalah nyata kedalam bahasa matematis.  Manfaat representsi bagi guru sendiri, diantaranya adalah:

1.    Pembelajaran yang menekankan representasi akan menyediakan suatu konteks yang kaya untuk pembelajaran guru.

2.         Meningkatkan pemahaman siswa

3.   Menjadikan representasi sebagai alat konseptual

4.    Meningkatkan kemampuan siswa dalam menghubungkan representasi matematik dengan koneksi sebagai alat pemecahan masalah

5.   Menghindarkan atau meminimalisir terjadinya miskonsepsi

Untuk itu guru perlu mengembangkan dan melatih siswa meningkatkan kemampuan representasinya dalam menyelesaikan suatu masalah yang diberikan. Karena apabila kemampuan representasi siswa itu baik, maka diharapkan siswa juga memiliki kemampuan pemecahan masalah, penalaran, komunikasi matematis dan koneksi matematis yang baik pula. yang tentunya akan menghasilkan pembelajaran yang lebih bermakna.

Menurut NCTM (dalam  Principle and Standard for Mathematics Education, program pembelajaran matematika sebaiknya menekankan pada representasi matematis untuk membantu perkembangan pemahaman matematis sehingga siswa mampu:

1.   Membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, mencatat, dan mengomunikasikan ide-ide.

2.    Mengembangkan suatu bentuk perwujudan dari representasi matematis yang dapat digunakan dengan tujuan tertentu, secara fleksibel dan tepat

3.   Mengomunikasikan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan matematis.

Representasi tersebut membantu untuk menggambarkan, menjelaskan, atau memperluas ide matematika. Siswa menggungkapkan ide-ide ketika mereka membuat tabel data, ketika mereka menjelaskan dalam kata-kata atau dengan gambar  dari sebuah objek seperti persegi panjang, silinder, atau ketika mereka menerjemahkan aspek masalah menjadi persamaan. 

Representasi beragam perlu dimunculkan dalam setiap pembelajaran untuk memperkaya pengalaman siswa. Keterampilan representasi matematik beragam dapat dilatih kepada siswa melalui penyajian materi atau masalah-masalah yang dikemas secara kontekstual. Hal ini bertujuan untuk memicu siswa agar menggunakan kembali ataupun mengaitkan masalah-masalahnya dengan pengetahuan yang telah diperoleh sebelumnya.

Siswa dapat mengembangkan dan memperdalam pemahaman mereka tentang konsep-konsep matematika dan hubungan karena mereka menciptakan, membandingkan, dan menggunakan berbagai representasi. Representasi berguna dalam semua bidang matematika karena representasi membantu  mengembangkan, berbagi, dan meningkatkan pemikiran matematika. (NCTM, 2000). 

E.       JENIS-JENIS REPRESENTASI

Goldin (dalam Fadillah, 2008) membagi representasi menjadi dua, yaitu representasi eksternal dan internal. Representasi eksternal adalah hasil perwujudan untuk menggambarkan apa-apa yang dikerjakan seseorang secara internal atau dalam representasi internalnya. Representasi internal dari seseorang sulit untuk diamati secara langsung karena merupakan aktivitas mental dari seseorang dalam pikirannya (minds-on). Tetapi representasi internal seseorang itu dapat disimpulkan atau diduga berdasarkan representasi eksternalnya dalam berbagai kondisi; misalnya dari pengungkapannya melalui kata-kata (lisan), melalui tulisan berupa simbol, gambar, grafik, tabel ataupun melalui alat peraga (hands-on). Dengan kata lain terjadi hubungan timbal balik antara representasi internal dan eksternal dari seseorang ketika berhadapan dengan sesuatu masalah.

Gagatsis dan Elia (dalam Fadillah, 2008) bahwa untuk siswa kelas 1, 2 dan 3 sekolah dasar, representasi dapat digolongkan menjadi empat tipe representasi, yaitu representasi verbal (representasi descriptive), gambar informational, gambar decorative, dan garis bilangan (representasi depictive).

F.       PENERAPAN REPRESENTASI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Salah satu kemampuan yang juga sangat penting dalam standar proses pembelajaran matematika adalah kemampuan representasi, karena diharapkan dengan kemampuan representasi yang tinggi dalam menyelesaikan suatu masalah yang diberikan, maka dapat dikatakan siswa juga memiliki kemampuan pemecahan masalah, penalaran, koneksi, dan komunikasi yang baik juga. Masalah tersebut dapat diselesaikan siswa menggunakan berbagai representasi, misalnya menggunakan grafik, atau menggunakan tabel data dan dapat pula myatakannya dengan persamaan (simbolik), ataupun dengan menggunakan representasi verbal.

Contoh 1

No	Representasi	Bentuk-bentuk Operasional
1	Representasi visual a) Diagram, tabel, atau grafik	·      Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi diagram, grafik, atau tabel ·      Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah
	b) Gambar	·      Membuat gambar pola-pola geometri ·      Membuat gambar untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaiannya

Materi Pokok                          : Statistika

Kelas/Semester                       : VII/Dua

Kompetensi Dasar                  : 3.5   Memahami pola dan menggunakannya untuk menduga dan membuat generalisasi (kesimpulan)

 4.8   Mengumpulkan, mengolah, menginterpretasi, dan menyajikan data hasil pengamatan dalam bentuk tabel, diagram, dan grafik.

Indikator                                :    Siswa dapat mengolah dan menyajikan data dalam bentuk tabel, diagram, dan grafik

Masalah 1

Berdasarkan suatu survey oleh lembaga penelitian, diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya setiap 10 tahun. Dapat diperkirakan pada tahun 2050 populasinya tinggal 1 juta ekor. Tentukan jumlah populasi hewan setiap 10 tahun sekali dari tahun 2000 sampai tahun 2050!

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui

Jumlah populasi hewan A  tahun 2050 adalah 1 juta

Jumlah populasi hewan A berkurang setegahnya setiap 10 tahun.

Ditanya:

Jumlah populasi hewan setiap 10 tahun dari tahun 2000 sampai tahun 2050

Penyelesaian :

Misalkan a  adalah jumlah populasi hewan pada tahun 2000. Maka dapat ditulis menjadi

Tahun 2000 jumlah populasi adalah a

Tahun 2010 jumlah populasi berkurang setengah dari populasi tahun 2000

Tahun 2020 jumlah populasi berkurang setegah dari populasi tahun 2010

Tahun 2030 jumlah populasi berkurang setengahnya dari populasi tahun 2020

Tahun 2040 jumlah populasi berkurang setegahnya dari populasi tahun 2030

Tahun 2050 jumlah populasi berkurang lagi setengahnya dari populasi tahun 2040

Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan jumlah populasi hewan A setiap 10 tahun adalah :

Tahun	Pola Perkalian	Jumlah Populasi Hewan (juta)
2000	2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×1	32
2010	2 × 2 × 2 × 2 × 1	16
2020	2 × 2 × 2 × 1	8
2030	2 × 2 × 1	4
2040	2 ×1	2
2050	1	1

Setelah diketahui jumlah populasi hewan A setiap 10 tahun dari tahun 2000 sampai tahun 2050, maka dapat digambarkan perkembangan populasi hewan A dalam bentuk diagram seperti berikut:

Contoh 2

2

Persamaan atau ekspresi matematis

·      Membuat persamaan atau model matematika dari representasi lain yang diberikan ·      Membuat konjektur dari suatu pola bilangan ·      Menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis

Materi pokok                           :     Barisan dan Deret

Kelas/Semester                        :     IX/Dua

Kompetensi Dasar                   :     3.10 Menerapkan pola dan generalisasi untuk membuat prediksi

                                                      4.4. Mengenal pola bilangan, barisan, deret, dan semacam, dan memperumumnya, menggunakan masalah nyata serta menemukan masalah baru

Indikator                                 : Siswa menentukan nilai dari

Masalah 2 :

Pada malam pertunjukkan dalam rangka membantu korban bencana alam, ruangan tempat duduk untuk para penonton dibagi atas beberapa baris. Masing – masing baris terdiri dari 200 tempat duduk. Harga karcis baris terdepan Rp. 150.000,00 per orang dan harga kacis baris paling belakang sebesar Rp. 50.000,00 per orang. Selisih harga karcis untuk tiap baris itu sama. Jika semua karcis habis terjual maka panitia berharap akan memperoleh uang sebesar Rp. 120.000.000,00. Berapakah harga karcis per orang dari sebelum baris paling belakang?

Alternatif Penyelesaian:

Karena selisih harga karcis untuk tiap baris selalu sama maka masalah itu akan diselesaikan menggunakan deret aritmatika. Perolehan uang dari karcis kelompok paling depan sebagai suku pertama (a) dan perolehan uang dari karcis kelompok paling belakang sebagai suku terakhir (U_n).

a    = (200)(150.000) = 30.000.000

U_n = (200)(50.000) = 10.000.000

S_n = 120.000.000

 

 

 

 

Ruangan tempat duduk dibagi atas 6 kelompok, maka harga karcis sebelum kelompok paling belakang adalah merupakan suku kelima (U₅).

 

 

 

 

 

 

 

 

Jadi harga karcis per orang pada baris sebelum baris paling belakang adalah Rp. 70.000,00

Contoh 3

3

Kata-kata atau teks tertulis

·      Membuat situasi masalah berdasarkan data atau representasi yang diberikan ·      Menuliskan interpretasi dari suatu representasi ·      Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematika dengan kata-kata ·      Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan ·      Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis

Materi Pokok              : Bilangan

Kelas/Semester            : VII/Satu

Kompetensi Dasar      : 3.2   Membandingkan dan mengurutkan berbagai jenis bilangan serta menerapkan operasi hitung bilangan bulan dan bilangan pecahan dengan memanfaatkan berbagai sifat operasi.

                                      4.2   Menggunakan pola dan generalisasi untuk menyelesaikan masalah     

Indikator                     :    Siswa dapat menerapkan operasi hitung dalam menyelesaikan masalah melibatkan sifat-sifat operasi hitung.

Masalah 3

Hana sedang sakit flu berat dan setelah Hana pergi berobat ke Dokter, Hana diberi obat oleh dokter dua macam, yaitu antibiotic dan paracetamol, dengan aturan untuk antibiotik 3×1 sehari dan paracetamol 3×2 sehari. Berapa banyak obat yang diminum Hana dalam 3 hari?

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan Masalah 3, diketahui bahwa untuk obat antibiotik banyak obat yang diminum Hana dalam sehari yakni pagi, siang, dan malam satu tablet, maka obat yang diminum Hana adalah: 3 × 1 berarti: 1 tablet diminum pagi hari, 1 tablet tablet diminum siang hari, dan 1 tablet diminum malam hari.

Maka banyak obat antibiotik yang dimakan Hana dalam sehari adalah 3 tablet.

Sehingga untuk 3 hari kedepan, Hana meminum obat antibiotic sebanyak: 3 × 3 = 9 tablet.

Untuk obat paracetamol banyak obat yang diminum Hana dalam sehari yakni pagi, siang, dan malam dua tablet, maka obat yang diminum Hana adalah 3 × 2 berarti: 2 tablet diminum pagi hari, 2 tablet tablet diminum siang hari, dan 2 tablet diminum malam hari.

Maka Banyak obat paracetamol yang diminum Hana dalam sehari adalah 6 tablet.

Sehingga untuk 3 hari ke depan, Hana meminum obat paracetamol sebanyak: 6×3 = 18 tablet.

Jadi, banyak obat yang diminum Hana selama tiga hari adalah 6 + 18 = 25 tablet.