Filsafat
matematika adalah cabang ilmu filsafat yang bertujuan untuk merefleksikan, dan
menjelaskan hakekat matematika. Hal ini merupakan kasus khas dari kegunaan
epistemologi yang bertujuan menjelaskan pengetahuan manusia secara umum.
Filsafat matematika mengajukan pertanyaan - pertanyaan seperti: Apa dasar dari
pengetahuan matematika? Apa hakekat kebenaran matematika? Apa yang mencirikan
matematika? Apa pembenaran kebenaran matematika? Mengapa kebenaran matematika
dianggap sebagai kebenaran yang mendasar?
Filsafat matematika pada dasarnya adalah pemikiran reflektif
terhadap matematika. Matematika menjadi ilmu pokok soal yang dipertimbangkan
secara cermat dan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif
dalam arti menengok sendiri untuk memahami bekerjannya budi itu sendiri. Ciri
relektif yang denikian itu ditekankan oleh para filsuf Inggris R.G. Collingwood
yang menyatakan “Philosophy is reflective”. The philosophizing mind never
simply thinks about an object; it always, while thinking about any object,
think also about its own thought about than object.” (Filsafat bersifat
reflektif. Budi yang berfilsafat tidaklah semata – mata berpikir tentang suatu
obyek, budi itu senantiasa berpikir juga berpikir tentang pemikirannya sendiri
tentang obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek –
obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir
tentang matematika sehingga membutuhkan filsafat matematika agar memperoleh
pemahaman apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.
Di antara ahli – ahli matematika dan para filsuf tidak
tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar
contoh dapatlah dikutipkan dari perumusan – perumusan dari 2 buku matematika
dan 2 buku filsafat yang berikut:
1)
Suatu
filsafat matematika dapatlah dilukiskan sebagai suatu sudut pandangan yang dari
situ pelbagai bagian dan kepingan matematika dapat disusun dan dipersatuja berdasarkan
beberapa asas dasar.
2)
Secara
khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan
penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahuan matematika yang kacau –
balau yang terhimpun selama berabad – abad diberi suatu makna atau ketertiban
tertentu.
3)
Penelaah
tentang konsep – konsep dari pembenaran terhadap asas – asas yang dipergunakan
dalam matematika
4)
Penelaah
tentang konsep – konsep dan sistem – sistem yang terdapat dalam matematika, dan
mengenai pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan berikut.
Dua pendapat yang pertama dari ahli – ahli matematika
menitik beratkan filsafat matematika, sebagai usaha menyusun dan menertibkan
bagian – bagian dari pengetahuan matematika yang selama ini terus berkembang
biak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat
matematika sebagai studi tentang konsep – konsep dalam matematika dan
pembenaran terhadap asas atau pembenaran matematika.
Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth di sampingnya
matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan adanya 2 bidang
pemikiran lainya, yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas
(philosophy of mathematics in a broader sense) dan penelitian mengenai landasan
matematika (foundation mathematics). Landasan matematika kadang – kadang
disamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Tetapi sesungguhnya
landasan matematika merupakan bidang pengetahuan yang palling sempit dari
bidang filsafat matematika. Foundation of mathematics khususnya bersangkut paut
dengan konsep – konsep asas foundamental (fundamental concepts and principles)
yang mempergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua definisi philosophy
of mathematics dari kamus – kamus filsafat tersebut diatas lebih merupakan
batasan pengertian matematika. Charles Parsons dalam The Encyclopedia of
Philosophy menegaskan:
Penelitian landasan senantiasa bersangkutan dengan masalah
tentang pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan dan asas – asas matematika,
dengan pemahaman mengapa proporsisi – proporsisi tertentu yang jelas sendirinya
adalah demikian, dengan pemberian pembenaran terhadap asas – asas yang telah
diterima tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan
penanggalan asas – asas yang tak terbebankan.)
Peran filsafat
matematika adalah untuk menunjukkan dasar yang sistematis dan benar-benar aman
untuk pengetahuan matematika, diperuntukkan
untuk kebenaran matematika.
Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi dari filsafat matematika adalah untuk menunjukkan dasar pengetahuan matematika. Foundationism terikat dengan pandangan absolutis pengetahuan matematika, karena menganggap tugas pembenaran pandangan ini menjadi tujuan utama filsafat matematika.
Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi dari filsafat matematika adalah untuk menunjukkan dasar pengetahuan matematika. Foundationism terikat dengan pandangan absolutis pengetahuan matematika, karena menganggap tugas pembenaran pandangan ini menjadi tujuan utama filsafat matematika.
1.2. Hakikat
Pengetahuan Matematika
Secara
tradisional, matematika telah dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu.
Euclid mendirikan sebuah struktur logis yang megah hampir 2.500 tahun lalu
dalam Elements, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai
paradigma untuk mendirikan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan bentuk
Elemen di dalam bukunya Principia, dan Spinoza dalam Etika, untuk memperkuat
klaim mereka atas penjelasan kebenaran sistematis. Dengan demikian matematika
telah lama diambil sebagai sumber pengetahuan yang paling tertentu yang dikenal
bagi umat manusia.
Sebelum
menyelidiki sifat pengetahuan matematika, pertama-tama perlu untuk
mempertimbangkan sifat pengetahuan pada umumnya. Jadi kita mulai dengan
bertanya, apakah pengetahuan? Pertanyaan tentang apa yang merupakan pengetahuan
inti dari filsafat, dan pengetahuan matematika memainkan suatu peranan penting.
Jawaban filsafat standar untuk pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah
keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan awalnya terdiri
dari dalil yang dapat diterima (yaitu, percaya), asalkan ada alasan yang
memadai untuk menegaskannya. (Sheffler, 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).
Pengetahuan diklasifikasikan atas dasar alasan untuk pernyataan tersebut. Pengetahuan apriori terdiri dari dalil yang ditegaskan berdasarkan pemikiran sendiri, tanpa jalan lain untuk pengamatan dunia. Berikut alasan penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari dalil menegaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dunia (Woozley, 1949).
Pengetahuan diklasifikasikan atas dasar alasan untuk pernyataan tersebut. Pengetahuan apriori terdiri dari dalil yang ditegaskan berdasarkan pemikiran sendiri, tanpa jalan lain untuk pengamatan dunia. Berikut alasan penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari dalil menegaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dunia (Woozley, 1949).
Pengetahuan
matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan prioritas, karena terdiri dari
dalil menegaskan berdasarkan nalar semata. Termasuk alasan logika deduktif dan
definisi yang digunakan, dalam hubungannya dengan seperangkat asumsi aksioma
atau postulat matematika, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan
matematika. Jadi dasar pengetahuan matematika, yang merupakan alasan untuk
menyatakan kebenaran dalil matematika, terdiri dari buktI deduktif.
Bukti
dari dalil matematika adalah rentetan yang terbatas dari pernyataan akhir pada
dalil, yang memenuhi sifat berikut. Setiap pernyataan merupakan aksioma diambil
dari seperangkat aksioma sebelumnya, atau diturunkan dengan aturan kesimpulan
dari satu atau lebih pernyataan yang terjadi sebelumnya dalam urutan. Istilah
'sekumpulan aksioma' dipahami secara luas, untuk memasukkan apa pun pernyataan
diterima menjadi bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, dalil-dalil dan definisi.
Diberikan sebuah contoh membuktikan
pernyataan berikut '1 + 1 = 2 'dalam sistem aksiomatik aritmatika Peano. Untuk
bukti ini kita membutuhkan definisi dan aksioma s0 = 1, s1 = 2, x + 0 = x, x +
sy = s (x + y) dari Aritmatika Peano, dan aturan inferensi logis dari P (r), r
= t ⇒
P (t); P (v) ⇒
P (c) (di mana r, t, v, c, dan P (t) kisaran lebih dari istilah; variabel,
konstanta, dan dalil dalam istilah t, masing-masing, dan ' '⇒ menandakan
implikasi logis) .2 Berikut ini adalah bukti 1 + 1 = 2: x + sy = s
(x + y), 1 + sy = s (1 + y), 1 + s0 = s (1 + 0), x +0 = x, 1 +0 = 1, 1 + s0 =
s1, s0 = 1, 1 +1 = s1, s1 = 2, 1 +1 = 2.
Penjelasan tentang bukti ini adalah sebagai berikut. s0 = 1 [D1] dan s1 = 2 [D2] adalah definisi dari konstanta 1, dan 2 masing-masing, dalam Aritmatika Peano, x +0 = x [A1] dan x + sy = s (x + y) [A2] adalah aksioma Aritmatika Peano. P (r), r = t ⇒ P (t) [R1] dan P (v) ⇒ P (c) [R2], dengan simbol-simbol seperti dijelaskan di atas, aturan logis dari inferensi. Pembenaran bukti, pernyataan demi pernyataan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1.1.
Penjelasan tentang bukti ini adalah sebagai berikut. s0 = 1 [D1] dan s1 = 2 [D2] adalah definisi dari konstanta 1, dan 2 masing-masing, dalam Aritmatika Peano, x +0 = x [A1] dan x + sy = s (x + y) [A2] adalah aksioma Aritmatika Peano. P (r), r = t ⇒ P (t) [R1] dan P (v) ⇒ P (c) [R2], dengan simbol-simbol seperti dijelaskan di atas, aturan logis dari inferensi. Pembenaran bukti, pernyataan demi pernyataan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1.1.
Tabel 1.1: Bukti 1 +1 = 2 dengan pembenaran
Langkah
|
Kalimat
|
Pembenaran dari
kalimat
|
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
|
x + sy = s ( x + y )
1 + sy = s
( 1 + y)
1 + s0 = s
( 1 + 0)
x + 0 = s
1 + 0 = 1
1 + s0 = 1
s0 = 1
1 + 1 = s1
s1 = 2
1 + 1 = 2
|
A2
R2 diterapkan pada S1,
menggunakan v = x, c = 1
R2 diterapkan pada S2, menggunakan v = y, c = 0
A1
R2 diterapkan pada S4, menggunakan v = x, c = 1
R1 diterapkan S3 dan S5, menggunakan r = 1 + 0, t
=1
D1
R1 diterapkan S6 dan S7, menggunakan r = s0, t = 1
D2
R1 diterapkan S8 dan S9, menggunakan r = s1, t = 2
|
Bukti ini memperlihatkan '1 + 1 = 2 'sebagai pokok pengetahuan matematika atau kebenaran, menurut analisis sebelumnya, karena bukti deduktif menetapkan jaminan logis untuk menegaskan pernyataan itu. Selanjutnya adalah pengetahuan priori, karena ditegaskan berdasarkan nalar semata.
Namun, apa yang
belum jelas adalah dasar asumsi yang
dibuat dalam pembuktian. Asumsi yang dibuat terdiri dari dua jenis: asumsi
matematika dan asumsi logis. Asumsi matematika yang digunakan adalah definisi
(D1 dan D2) dan aksioma (A1 dan A2). Asumsi logis adalah aturan kesimpulan yang
digunakan (R1 dan R2), yang merupakan bagian yang mendasari bukti dari teori,
dan kalimat yang mendasari bahasa formal.
Kami
menganggap pertama asumsi matematika. Definisi, menjadi definisi yang
eksplisit, yang bukan merupakan persoalan, karena pada prinsipnya mereka dapat
disingkirkan. Setiap pemunculan dari istilah yang didefinisikan 1 dan 2 dapat
digantikan oleh apa yang disingkat (s0 dan ss0, masing-masing). Hasil
menghilangkan definisi ini adalah bukti disingkat: x + sy = s (x + y), s0 + sy
= s (S0 + y), s0 + s0 = s (s0 +0), x +0 = x, s0 +0 = s0, s0 + s0 = ss0;
membuktikan 's0 + s0 = ss0', yang mewakili '1 +1 = 2 '. Meskipun definisi
eksplisit disingkat pada prinsipnya, itu tetap merupakan kenyamanan yang tak
diragukan, belum lagi bantuan untuk berpikir, untuk mempertahankan mereka.
Namun, dalam konteks ini kita prihatin untuk mengurangi asumsi-asumsi yang
minimum mereka, untuk mengungkapkan asumsi yang tak dapat dikurangi pengetahuan
matematika dan pembenaran.
Jika
definisi tidak eksplisit, seperti dalam definisi asli dari induktif Peano
(Heijenoort, 1967), yang diasumsikan di atas sebagai sebuah aksioma, dan bukan
sebagai definisi, maka definisi tidak akan eliminable pada prinsipnya. Dalam
hal ini masalah dasar definisi, yaitu asumsi yang menjadi landasannya, analog
dengan aksioma.
Aksioma tidak terlepas pada pembuktian. Mereka harus dianggap baik sebagai kebenaran aksiomatik, atau hanya mempertahankan pembenarannya, asumsi sementara, diadopsi untuk memungkinkan perkembangan dari teori matematika yang sedang dipertimbangkan. Kami akan kembali ke hal ini.
Aksioma tidak terlepas pada pembuktian. Mereka harus dianggap baik sebagai kebenaran aksiomatik, atau hanya mempertahankan pembenarannya, asumsi sementara, diadopsi untuk memungkinkan perkembangan dari teori matematika yang sedang dipertimbangkan. Kami akan kembali ke hal ini.
Asumsi logis, yaitu aturan inferensi (bagian dari
bukti teori keseluruhan) dan sintaks logis, diasumsikan sebagai bagian dari
logika yang mendasarinya, dan merupakan bagian dari mekanisme yang dibutuhkan
untuk aplikasi alasan. Jadi logika diasumsikan sebagai landasan bermasalah
untuk pembenaran pengetahuan.
Singkatnya, kebenaran matematika SD '1 +1 = 2 ', tergantung untuk pembenaran pada bukti matematika. Hal ini pada gilirannya tergantung pada asumsi sejumlah pernyataan matematika dasar (aksioma), serta pada logika yang mendasarinya. Secara umum, pengetahuan matematika terdiri dari pernyataan dibenarkan oleh bukti-bukti, yang tergantung pada aksioma matematika (dan logika yang mendasari).
Akun ini pengetahuan matematika pada dasarnya adalah yang telah diterima selama hampir 2.500 tahun. Presentasi awal pengetahuan matematika, Elemen Euclid, berbeda dari data di atas hanya dengan derajat. Dalam Euclid, pengetahuan matematika didirikan oleh deduksi logis dari aksioma dan postulat theoremsfrom (yang kita termasuk di antara aksioma). Logika yang mendasari dibiarkan tidak ditentukan (selain pernyataan dari beberapa aksioma mengenai hubungan kesetaraan). Aksioma-aksioma tidak dianggap sebagai asumsi sementara diadopsi, diadakan hanya untuk pembangunan teori di bawah pertimbangan. Aksioma dianggap kebenaran dasar yang diperlukan tidak ada pembenaran, bukti luar diri mereka sendiri (Blanche, 1966) . 3 Karena itu, account klaim untuk menyediakan dasar untuk pengetahuan matematika tertentu. Sebab bukti logis mempertahankan kebenaran dan diasumsikan aksioma yang jelas kebenaran, maka setiap teorema yang berasal dari mereka harus juga kebenaran (penalaran ini implisit, tidak eksplisit di Euclid). Namun, klaim ini tidak lagi diterima karena aksioma Euclid dan postulat tidak dianggap kebenaran dasar dan tak terbantahkan, tidak ada yang dapat dinegasikan atau ditolak tanpa mengakibatkan kontradiksi. Bahkan, penolakan beberapa dari mereka, yang paling notablythe Postulat Paralel, hanya mengarah ke badan lain pengetahuan geometris (non-Euclidean geometri).
Selain Euclid, pengetahuan matematika modern mencakup banyak cabang yang bergantung pada asumsi set aksioma yang tidak dapat diklaim sebagai kebenaran universal dasar, misalnya, aksioma teori grup, atau teori himpunan (Maddy, 1984).
2.3. Pandangan Absolutis Pengetahuan Matematika
Singkatnya, kebenaran matematika SD '1 +1 = 2 ', tergantung untuk pembenaran pada bukti matematika. Hal ini pada gilirannya tergantung pada asumsi sejumlah pernyataan matematika dasar (aksioma), serta pada logika yang mendasarinya. Secara umum, pengetahuan matematika terdiri dari pernyataan dibenarkan oleh bukti-bukti, yang tergantung pada aksioma matematika (dan logika yang mendasari).
Akun ini pengetahuan matematika pada dasarnya adalah yang telah diterima selama hampir 2.500 tahun. Presentasi awal pengetahuan matematika, Elemen Euclid, berbeda dari data di atas hanya dengan derajat. Dalam Euclid, pengetahuan matematika didirikan oleh deduksi logis dari aksioma dan postulat theoremsfrom (yang kita termasuk di antara aksioma). Logika yang mendasari dibiarkan tidak ditentukan (selain pernyataan dari beberapa aksioma mengenai hubungan kesetaraan). Aksioma-aksioma tidak dianggap sebagai asumsi sementara diadopsi, diadakan hanya untuk pembangunan teori di bawah pertimbangan. Aksioma dianggap kebenaran dasar yang diperlukan tidak ada pembenaran, bukti luar diri mereka sendiri (Blanche, 1966) . 3 Karena itu, account klaim untuk menyediakan dasar untuk pengetahuan matematika tertentu. Sebab bukti logis mempertahankan kebenaran dan diasumsikan aksioma yang jelas kebenaran, maka setiap teorema yang berasal dari mereka harus juga kebenaran (penalaran ini implisit, tidak eksplisit di Euclid). Namun, klaim ini tidak lagi diterima karena aksioma Euclid dan postulat tidak dianggap kebenaran dasar dan tak terbantahkan, tidak ada yang dapat dinegasikan atau ditolak tanpa mengakibatkan kontradiksi. Bahkan, penolakan beberapa dari mereka, yang paling notablythe Postulat Paralel, hanya mengarah ke badan lain pengetahuan geometris (non-Euclidean geometri).
Selain Euclid, pengetahuan matematika modern mencakup banyak cabang yang bergantung pada asumsi set aksioma yang tidak dapat diklaim sebagai kebenaran universal dasar, misalnya, aksioma teori grup, atau teori himpunan (Maddy, 1984).
2.3. Pandangan Absolutis Pengetahuan Matematika
Pandangan absolutis pengetahuan matematika adalah bahwa
hal itu terdiri dari kebenaran tertentu dan tak tertandingi. Menurut pandangan
ini, pengetahuan matematika terdiri dari kebenaran absolut, dan mewakili ranah
pengetahuan tertentu yang unik, terpisah dari logika dan pernyataan benar
berdasarkan arti istilah, seperti 'Semua bujangan belum menikah'.
Banyak filsuf, baik modern dan tradisional,
memiliki pandangan absolutis pengetahuan matematika.
Jadi menurut Hempel:
validitas matematika berasal dari ketentuan yang menentukan arti dari konsep-konsep matematika, dan bahwa proposisi matematika karena itu pada dasarnya 'benar menurutdefinisi'.
Dalam pemikiran absolut, dinyatakan bahwa Mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge yang maksudnya adalah Matematika adalah suatu kemungkinan dan kenyataan yang tak terbantahkan dan merupakan ilmu pengetahuan yang objektif. Sedangkan secara fallibilis, Mathematica truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction, yang maksudnya adalah kebenaran Matematika dapat dibenarkan dan tidak pernah bisa ditentang, diperbaiki maupun dikoreksi. Sehingga The Liang Gie dalam bukunya yang berjudul Filsafat Matematika menyatakan bahwa Filsafat Matematika merupakan sudut pandang yang menyusun dan mempersatukan berbagai bagian dan kepingan Matematika berdasarkan beberapa asas dasar.
validitas matematika berasal dari ketentuan yang menentukan arti dari konsep-konsep matematika, dan bahwa proposisi matematika karena itu pada dasarnya 'benar menurutdefinisi'.
Dalam pemikiran absolut, dinyatakan bahwa Mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge yang maksudnya adalah Matematika adalah suatu kemungkinan dan kenyataan yang tak terbantahkan dan merupakan ilmu pengetahuan yang objektif. Sedangkan secara fallibilis, Mathematica truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction, yang maksudnya adalah kebenaran Matematika dapat dibenarkan dan tidak pernah bisa ditentang, diperbaiki maupun dikoreksi. Sehingga The Liang Gie dalam bukunya yang berjudul Filsafat Matematika menyatakan bahwa Filsafat Matematika merupakan sudut pandang yang menyusun dan mempersatukan berbagai bagian dan kepingan Matematika berdasarkan beberapa asas dasar.
Lain
pendukung kepastian matematika adalah Ajayer yang mengklaim berikut. Sedangkan generalisasi ilmiah mudah mengaku menjadi
keliru, kebenaran matematika
dan logika tampaknya semua orang perlu dan pasti. Kebenaran logika dan matematika proposisi analitik atau
tautologi. Kepastian dari
proposisi apriori tergantung pada kenyataan bahwa mereka tautologi. Sebuah proposisi
yang
tautologi jika analitik. Sebuah proposisi adalah analitik
jika benar hanya dalam kebajikan makna simbol consistituent, dan karena itu
tidak dapat dikonfirmasi atau dibantah baik oleh fakta pengalaman.(Ayer,1946,halaman72,7716,).
Metode deduktif memberikan surat perintah untuk penegasan matematika
pengetahuan. Dasar-dasar untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika) menyediakan mutlak pengetahuan tertentu, yang adalah kebenaran, karena itu sebagai berikut. Pertama-tama, dasar laporan digunakan dalam bukti yang dianggap benar. Aksioma matematika dianggap benar, untuk tujuan mengembangkan sistem yang sedang dipertimbangkan, definisi matematika adalah benar dengan fiat, dan aksioma logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan logika ofinference melestarikan kebenaran, adalah mereka memungkinkan apa-apa selain kebenaran yang disimpulkan dari kebenaran. Berdasarkan kedua fakta, setiap pernyataan dalam bukti deduktif, termasuk kesimpulannya, adalah benar. Jadi, karena teorema matematika semua dibentuk dengan cara bukti deduktif, mereka semua kebenaran tertentu. Ini merupakan dasar dari klaim banyak filsuf bahwa kebenaran matematika adalah
Metode deduktif memberikan surat perintah untuk penegasan matematika
pengetahuan. Dasar-dasar untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika) menyediakan mutlak pengetahuan tertentu, yang adalah kebenaran, karena itu sebagai berikut. Pertama-tama, dasar laporan digunakan dalam bukti yang dianggap benar. Aksioma matematika dianggap benar, untuk tujuan mengembangkan sistem yang sedang dipertimbangkan, definisi matematika adalah benar dengan fiat, dan aksioma logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan logika ofinference melestarikan kebenaran, adalah mereka memungkinkan apa-apa selain kebenaran yang disimpulkan dari kebenaran. Berdasarkan kedua fakta, setiap pernyataan dalam bukti deduktif, termasuk kesimpulannya, adalah benar. Jadi, karena teorema matematika semua dibentuk dengan cara bukti deduktif, mereka semua kebenaran tertentu. Ini merupakan dasar dari klaim banyak filsuf bahwa kebenaran matematika adalah
kebenarantertentu.
Pandangan absolutis pengetahuan matematika didasarkan pada dua jenis asumsi: orang matematika, tentang asumsi aksioma dan definisi, dan orang-orang logika tentang asumsi aksioma, aturan inferensi dan bahasa formal dan sintaks. Ini adalah lokal atau microassumptions. Ada juga kemungkinan asumsi makro-global atau, seperti aswhether cukup deduksi logis untuk membuat semua kebenaran matematika. Saya kemudian akan menyatakan bahwa masing-masing asumsi melemahkan klaim kepastian untuk pengetahuan matematika. Pandangan absolutis pengetahuan matematika mengalami masalah pada awal abad kedua puluh ketika sejumlah antinomi dan kontradiksi berasal dalam matematika (Kline, 1980; Kneebone, 1963; Wilder, 1965). Dalam serangkaian publikasi Gottlob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh jauh formulasi paling ketat logika matematika yang dikenal pada waktu itu, sebagai dasar untuk pengetahuan matematika. Russell (1902), bagaimanapun, mampu menunjukkan bahwa sistem Frege tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Kelima Dasar Frege, yang memungkinkan menetapkan yang akan dibuat dari perpanjangan konsep apapun, dan untuk konsep atau properti yang akan diterapkan untuk mengatur (Furth, 1964). Russell diproduksi terkenal paradoks nya dengan mendefinisikan properti dari 'tidak unsur itu sendiri. Hukum Frege memungkinkan perpanjangan properti ini dianggap sebagai satu set. Tapi kemudian set ini adalah elemen dari dirinya sendiri jika, dan hanya jika, tidak, kontradiksi. Hukum Frege tidak dapat dijatuhkan tanpa serius melemahkan sistem nya, namun itu tidak bisa dipertahankan.
Kontradiksi lain juga muncul dalam teori set dan teori fungsi. Temuan tersebut, tentu saja, implikasi besar bagi pandangan absolutis pengetahuan matematika. Karena jika matematika yang pasti, dan semua teorema yang yakin, bagaimana bisa kontradiksi (yaitu, dusta) berada di antara teorema nya? Karena tidak ada kesalahan tentang penampilan kontradiksi-kontradiksi ini, pasti ada yang salah dalam dasar matematika. Hasil dari krisis ini adalah pengembangan dari sejumlah sekolah dalam filsafat matematika yang bertujuan adalah untuk menjelaskan sifat pengetahuan dan matematika untuk membangun kembali kepastian.
Pandangan absolutis pengetahuan matematika didasarkan pada dua jenis asumsi: orang matematika, tentang asumsi aksioma dan definisi, dan orang-orang logika tentang asumsi aksioma, aturan inferensi dan bahasa formal dan sintaks. Ini adalah lokal atau microassumptions. Ada juga kemungkinan asumsi makro-global atau, seperti aswhether cukup deduksi logis untuk membuat semua kebenaran matematika. Saya kemudian akan menyatakan bahwa masing-masing asumsi melemahkan klaim kepastian untuk pengetahuan matematika. Pandangan absolutis pengetahuan matematika mengalami masalah pada awal abad kedua puluh ketika sejumlah antinomi dan kontradiksi berasal dalam matematika (Kline, 1980; Kneebone, 1963; Wilder, 1965). Dalam serangkaian publikasi Gottlob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh jauh formulasi paling ketat logika matematika yang dikenal pada waktu itu, sebagai dasar untuk pengetahuan matematika. Russell (1902), bagaimanapun, mampu menunjukkan bahwa sistem Frege tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Kelima Dasar Frege, yang memungkinkan menetapkan yang akan dibuat dari perpanjangan konsep apapun, dan untuk konsep atau properti yang akan diterapkan untuk mengatur (Furth, 1964). Russell diproduksi terkenal paradoks nya dengan mendefinisikan properti dari 'tidak unsur itu sendiri. Hukum Frege memungkinkan perpanjangan properti ini dianggap sebagai satu set. Tapi kemudian set ini adalah elemen dari dirinya sendiri jika, dan hanya jika, tidak, kontradiksi. Hukum Frege tidak dapat dijatuhkan tanpa serius melemahkan sistem nya, namun itu tidak bisa dipertahankan.
Kontradiksi lain juga muncul dalam teori set dan teori fungsi. Temuan tersebut, tentu saja, implikasi besar bagi pandangan absolutis pengetahuan matematika. Karena jika matematika yang pasti, dan semua teorema yang yakin, bagaimana bisa kontradiksi (yaitu, dusta) berada di antara teorema nya? Karena tidak ada kesalahan tentang penampilan kontradiksi-kontradiksi ini, pasti ada yang salah dalam dasar matematika. Hasil dari krisis ini adalah pengembangan dari sejumlah sekolah dalam filsafat matematika yang bertujuan adalah untuk menjelaskan sifat pengetahuan dan matematika untuk membangun kembali kepastian.
2.4. Aliran matematika
Ada tiga aliran yang digunakan sebagai acuan
berpikir, yaitu: logicism,
formalisme dan Intuisionisme. Aliran pemikiran ini tidak sepenuhnya dikembangkan sampai abad kedua puluh,
tapi Korner (1960) menunjukkan
bahwa akar filosofis mereka dapat ditelusuri kembali setidaknya sejauh Leibniz
dan Kant.
A. Logisme
Logisme memandang bahwa Matematika sebagai
bagian dari logika. Pernyataan ini dikemukakan oleh G. Leibniz. Dua pernyataan
penting yang dikemukakan di dalam aliran ini, yaitu:
a.
Semua konsep matematika secara
mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika
b.
Semua kebenaran matematika
dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara
logika semata.
Tujuan dari
tuntutan ini jelas. Jika semua matematika dapat diekspresikan dalam teorema
logika murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika sendiri, kemudian
kepastian dari ilmu matematika dapat dikurangi untuk dan dari logika itu.
Logika disadari untuk menyediakan sebuah dasar yang pasti atas kebenaran,
sebagian dari ambisi yang berlebihan mencoba untuk menyampaikan logika, seperti
hukum Frege yang kelima. Dengan demikian jika membantu, program logika akan menyediakan
dasar logika yang pasti untuk pengetahuan matematika, melahirkan kembali
kepastian yang mutlak dalam matematika
Whitehead dan
Russel (1910-13) mampu membangun yang pertama dari dua tuntutan melalui arti
dari defenisi berantai. Bagaimanapun logika dibangun pada tuntutan yang kedua.
Matematika meminta aksioma non logika seperti aksioma tidak terbatas (himpunan
semua bilangan asli adalah tidak terbatas). Dan aksioma pilihan(hasil cartesian
dari himpunan kosong adalah himpunan kosong itu sendiri). Russel
mengekspresikannya pada dirinya sendiri sebagai pengikut.
Tetapi
walaupun semua dalil logika (atau
matematika) dapat diekspresikan seluruhnya dalam teorema dari logika konstanta
bersama dengan variable, itu bukanlah masalah bahwa, sebaliknya, semua dalil
itu dapat diekspresikan dalam cara logika ini. kita telah menemukan sejauh
kepentingan tetapi bukan sebuah standar yang perlu dari dalil matematika. Kita
perlu menentukan karakter dari ide kuno dalam teorema yang mana semua ide dalam
matematika dapat ditentukan. Tetapi bukanlah dalil kuno dari semua dalil dalam
matematika dapat dibuktikan secara deduktif. Ini adalah sebuah masalah yang
lebih sulit, yang mana belum diketahui apa jawaban seutuhnya.
Kita
boleh mengambil aksioma dari jumlah tak berakhir sebagai sebuah contoh dari
dalil yang, mengira itu dapat disebut dalam teorema logika. Tidak dapat
dinyatakan oleh logika untuk menjadi benar.
Dengan
demikian, tidak semua teorema dalam matematika dan karenanya tidak semua
kebenaran dalam matematika dapat diperolah dari aksioma logika sendiri. Ini
berarti bahwa aksioma matematika tidaklah menghapuskan rasa dari logika itu.
Teorema matematika tergantung pada sebuah himpunan anggapan matematika yang
tidak dapat dibagi lagi.tentu saja, sejumlah aksioma matematika yang penting
berdiri sendiri, dan juga mereka atau ingkaran mereka dapat diadopsi tanpa
ketidakkonsistenan (Cohen, 1966). Dengan demikian tuntutan yang kedua ditolak.
Untuk mengatasi
masalah ini, Russel mundur untuk sebuah versi pelemah dari logistic disebut
“jika ketuhanan” yang mana tuntutan itu matematika murni menghadirkan
pernyataan implikasi dari bentuk “A →
T”. Menurut pandangan ini, sebelumnya kebenaran matematika dibangun
sebagai teorema dengan pembuktian logika. Masing – masing teorema ini (T)
menjadi konsekwen dalam pernyataan implikasi. Konjungsi dari aksioma matematika
(A) digunakan dalam bukti tergabung dalam pernyataan implikasi sebagai
antiseden (dalam Carnap, 1931). Jadi, semua asumsi matematika (A) yang mana
tergantung pada teorema sekarang digabungkan ke dalam bentuk teorema yang baru
(AT), menghindarkan kebutuhan untuk aksioma matematika.
Banyak
manipulasi untuk sebuah pengakuan bahwa matematika adalah sistem hipotesis
deduktif, dimana konsekwensi dari himpunan asumsi aksioma di eksplorasi, tanpa
menegaskan kebenaran yang diperlukan dalam matematika.
Sayangnya,
perangkat ini juga mengarah pada kegagalan, karena tidak semua kebenaran
matematika, seperti aritmatika Peano konsisten dapat dinyatakan sebagai
pernyataan implikasi seperti pendapat Marchover (1983).
Keberatan yang kedua, yang terlepas dari
validitas dari dua tuntutan logicit, yang merupakan alasan utama untuk menolak
formalisme. Ini adalah teorema ketidaklengkapan Godel, yang menetapkan bahwa
pembuktian deduktif cukup untuk menunjukkan semua kebeanaran matematika. Oleh
karena itu pengurangan kesuksesan dari aksioma matematika untuk logika masih
tidak akan cukup untuk derivasi dari semua kebenaran matematika.
Keberatan
yang ketiga yang mungkin menyangkut kepastian dan keandalan yang mendasari
logika. Hal ini tergantung pada keterujian dan pendapat, asumsi yang
dibenarkan.
Dengan
demikian program logika mengurangi kepastian pengetahuan matematika untuk itu
logika gagal dalam prinsip. Logika tidak menyediakan dasar yang pasti untuk
pengetahuan matematika.
B. Formalisme
Dalam
istilah populer, formalisme merupakan pandangan bahwa sebuah permainan formal
yang tidak berarti yang dimainkan dengan tanda-tanda diatas kertas, mengikuti
aturan-aturan.
Jejak
filsafat dari formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan – tulisan Uskup
Berkeley, tetapi pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awalnya
J. Von Neumann (1931) dan H. Curry (1951). Program formalis Hilbert bertujuan
untuk menerjemahkan matematika kedalam sistem tafsiran formal. Dengan arti yang
terbatas tetapi bermakna sistem formal metamatematika terbukti
memadai untuk matematika, dengan menurunkan keformalan dari semua kebenaran
matematika, dan aman untuk matematika melalui bukti yang konsisten.
Menurut Ernest (1991)
formalis memiliki dua tesis, yaitu
1.
Matematika dapat dinyatakan
sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sembarangan, kebenaran
matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.
2.
Keamanan dari sistem formal ini
dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.
Kekuranglengkapan teorema Kurt Godel (Godel, 1931)
menunjukkan bahwa program tidak bisa dipenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan
bahwa tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano (
atau beberapa himpunan aksioma yang lebih rekursif luas).
Hasil pembuktian-teori ini sejak itu sudah
dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang merupakan teorema
versi Ramsey benar tetapi tidak dapat dibuktikan dalam aritmatika Peano
(Barwise, 1977). Ketidaklengkapan teorema yang kedua menunjukkan bahwa dalam
kasus konsistensi yang diinginkan membuktikan sebuah meta-matematika lebih kuat
daripada sistem yang akan dijaga, yang mana jadinya tidak terjaga samasekali.
Misalnya, untuk membuktikan konsistensi aritmatika Peano mengharuskan semua
aksioma sistem itu dan selanjutnya asumsi, seperti sistem induksi transfinite atas
nomor urutan hitung (Gentzen, 1936)
Program formalis, seandainya berhasil, akan
memberikan dukungan untuk sebuah pandangan kebenaran absolut matematika. Untuk
bukti formal berbasis dalam konsistensi sistem matematika formalakan memberikan
ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa dalam kedua tuntutan formalisme telah disangkal.
Tidak semua kebenaran matematika dapat dipresentasikan sebagai teorema dalam
sistem formal, dan selanjtunya sistem itu sendiri tidak dapat dijamin
kebenarannya.
C.Intuisionisme
Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer (1882-1966),
berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti
cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada
akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek
segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran
kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak
diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme
tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin,
1994). Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran matematika
menurut versinya, dengan menurunkannya (secara mental) dari aksima-aksioma
intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan metode yang aman dalam
pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang eksklusifpada keyakinan
yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan intusionisme)
tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata (Ernest, 1991). Ada
berbagai macam keberatan terhadap intusionisme, antara lain; (1) intusionisme
tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek matematika bebas, jika tidak
ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4; (2) matematisi intusionisme adalah
manusi timpang yang buruk dengan menolak hukum logika p atau bukan p dan
mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada
matematika masa kini. Intusionisme, menjawab keberata tersebut seperti berikut;
tidak ada dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba membayangkansuatu dunia
tanpa manusia; (2) Lebih baik memiliki sejumlah sejumlah kecil matematika yang
kokoh dan ajeg dari pada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan
omong kosong (Anglin, 1994).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar