LIMIT

A.    Limit

1.1. Pengertan limit

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

1.2. Teorema-teorema limit

Misalkan  f  dan  g  adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada selang buka I yang memuat a kecuali mungkin pada a sendiri dan misalkan limit f dan g  di a ada, jika  dan , maka:

(i)                

(ii)              

(iii)            

(iv)            

(v)               ,  dengan n bilangan positif dan >0

(vi)             Teorema akibat   k = konstanta.

Contoh Soal:

1.     

                                    (teorema 1)

2. (teorema v)

1.3.  Limit kiri dan limit kanan (limit sepihak)

                           

Sebelum kita membahas konsep “Limit kiri” dan “limit kanan”, perhatikan dengan seksama fungsi f  beserta grafik pada contoh berikut :

Gambar grafik f(x) =

2

-2

-1

1

0

y

x

 

Contoh :                                                

            Fungsi f ini terdefenisi pada semua bilangan real kecuali di x = 0, jadi D_f = R – {0}.

Sebagaimana halnya pada contoh maka pada contoh ini kita amati perilaku fungsi f(x) =  disekitar x = 0. Bilamana x cukup dekat ke 0, maka f(x) tidak mendekati suatu nilai tertentu, sehingga kita katakan

 tidak ada .

·         Akan tetapi, bilamana x mendekati 0 dari arah kanan (dari arah nilai-nilai x yang besar dari 0), maka f(x) akan mendekati 1. dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi x mempunyai “limit kanan” di 0 dengan nilai limit kanan 1, ditulis

·         Demikian juga bilamana x mendekati 0 dari arah kiri (dari arah nilai-nilai x yang lebih kecil 0), maka f(x) akan mendekati bilangan -1. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai “limit kiri” di 0 dengan nilai limit kirinya  -1, ditulis

Dari kenyataan ini kita defenisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut :

Contoh 1.

a.      

1

0

1

2

-1

x

y

y = x2

y = 2

Gambar 1

Diberikan fungsi

Tunjukkan bahwa   tidak ada, dan gambar grafiknya.

Penyelesaian:

 f(x) =

Untuk menghitung limit kiri dari f digunakan persamaan

 

(domain dari  f di sebelah kiri dari 1). Sebaliknya untuk menghitung limit kanan dari  f  digunakan persamaan  . Sehingga

   sedangkan

karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa  tidak ada.

Contoh 2:

Diberikan fungsi  f(x) = 

a.       Gambar grafik  f

b.      Tentukan , jika ada

c.       Tentukan , jika ada

Penyelesaian:

a.       Grafik fungsi  f  diatur oleh 3 persamaan  yaitu :

y = 2x + 1,  pada selang  [1,+¥)

y = -x²     ,  pada selang  [-1,1)

y = x² + 2x,,  pada selang  (-¥,-1)

sehingga grafik f merupakan gabungan dari tiga kurva diatas (gambar 2)

1

0

1

2

-1

y

f(x)

3

-1

-2

x

Gambar  2

 

b.      Dengan menggunakan definisi limit, dapat ditunjukkan bahwa pada titik a = -1 maka:

Limit kiri :   dan

Limit kanan :   

karena limit kiri sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa

 

c.       Pada titik a = 1 , maka

Limit kiri :   dan

Limit kanan :   

karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa 

tidak ada.

1.4    Limit Tak Hingga

Definisi 1.4.1:

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka:

(i)                 Limit f(x) dikatakan “membesar tanpa batas” (+¥) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:

jika  "M > 0, $ d > 0 sedemikian sehingga

(ii)               Limit f(x) dikatakan “mengecil tanpa batas” (-¥) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:

jika  "M>0, $d>0 sedemikian sehingga

Sebagai illustrasi perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1:

            Selidiki perilaku fungsi  f(x) =  disekitar 0; (x ¹ 0)

Perhatikan nilai-nilai fungsi f bilamana x dibuat dekat ke 0; (x ¹ 0)

Tabel 1.4.1.1

X					®…	0	…¬
f(x)	2	10	10000	1000000	®…	?	…¬	-1000000	1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 -4 -1 -2 -4 2 y f(x) = ,  x>0 f(x) = ,  x<0 Gambar  3 -10000	-10	-2

Dari tabel 3.4.1.1 terlihat bahwa :

Nilai f(x)  akan semakin membesar tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kanan , dalam hal ini dikatakan

           

Nilai f(x)  akan semakin mengecil tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kiri , dalam hal ini dikatakan

           

Jadi limit kanan  f(x)  dan limit kiri f(x)  pada x =0 dikatakan tidak ada.

Catatan : Lambang -¥ dan +¥ bukan bilangan.

Terlihat bahwa tidak ada bilangan tertentu yang bisa didekati  f(x)  manakala x dibuat mendekati 0.

Jadi        tidak ada.

Contoh 2:

       Tentukan  limit fungsi beikut (jika ada) pada  x ® 0, kemudian gambar grafiknya.

a.      

1

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-1

-2

2

4

f(x) = ,  x>0

f(x) = ,  x<0

x

y

Gambar  4

b.     

Penyelesaian:

a.       f(x) =

Daerah asal f adalah  semua bilangan riil x kecuali x=0

atau  (-¥,0) È (0,+¥). Dan range f adalah (0,+¥) atau  y > 0

grafik f akan membesar tanpa batas bilamana x mendekati 0, dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan, sehingga dikatakan:

Meskipun dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya sama-sama menuju ¥, akan tetapi  ¥ bukan suatu bilangan, maka dikatakan:

          (membesar tanpa batas atau tidak ada.)

b.     

1

0

1

2

3

x

-1

-2

-3

y

-1

-2

-4

f(x) = ,  x>0

f(x) = ,  x<0

Gambar 5

g(x) =  

Perhatikan bahwa nilai f(x)  akan mengecil tanpa batas bilamana x semakin dekat ke nol, baik dari kiri maupun dari kanan, maka kita katakan

(tidak ada)

B.     Kontinyuitas

·      Suatu fungsi dikatakan kontinyu apabila grafiknya berupa kurva yang tidak patah.

·      Suatu fungsi f(x) adalah  kontinu untuk x = a, jika :

§  f(a) tertentu

§  ada dan terhingga

§ 

·      Apabila salah satu syarat diatas tidak dipenuhi, maka fungsinya tidak kontinu atau disebut juga diskontinu.

·         Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai  sama dengan , kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun  tidak terdefinisikan akan tetapi  mungkin ada. Apabila  =  maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Definisi 2.1 Fungsi f dikatakan kontinu di  jika

 

Definisi 2.1 di atas secara  implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:     

 (i).  f(a) ada atau terdefinisikan,

  (ii).   ada, dan

            (iii).

            Secara grafik, fungsi f kontinu di  jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada Gambar, f kontiynu di x₁ dan di setiap titik di dalam  kecuali di titik-titik x₂, x₃, dan x₄. Fungsi f diskontinu di x₂ karena  tidak ada, diskontinu di x₃ karena nilai tidak sama dengan nilai fungsi di x₃ (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x₄ karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.  

                                                                                        

°

 

°

°

                                                                                                      

·

                                                                      

a         x1                x2           x3         x4                                  b

                                                                                   

                                                                                                       

Gambar  9

                                                                                                                                                                                                                                                                    

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.   

Contoh 9

(a). Fungsi f dengan rumus  diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh    diskontinu di x = 0  sebab   tidak ada.

(c). Fungsi g dengan defini  

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab =3

C.    Deret mac Laurint

            Misalkan

Masukan

Differensialkan

Masukan

Differensialkan 

Masukkan

Differensialkan

Masukkan

Dan seterusnya….. sehingga diperoleh:

                           Deret Laurent

Contoh :

1.                  perderetkan dalam deret maclaurin

jawab:

Maka

D.    Deret Taylor

            Rumus deret taylor diturunkan dari deret maclaurin, dimana deret maclaurin adalah:

Maka untuk mendapatkan rumus taylor tersebut,dapat dicari dengan memisalkan sebuah fungsi dalam koefisien differensialnya dititik x=0 yakni dititik k(lihat gambar)

f(a)

Y

f(h)

Y=f(x)

 

P

                                                                                               

                       K

0

                        

                                                   h

maka dititik P:f(h)

jika kita geserkan sumbu y sejauh a kekiri, maka

Y=f(x)

F(a+h)

                                                                                               

P

k

                      

F(a)

                        

                                                   h

0

 

            Maka persamaan kurvanya terhadap sumbu yang baru menjadi y=f(x+a) dan harga dititik K sekarang menjadi f(a), sehingga dititik P:f(a+h)

jika a=x maka deret umum taylor menjadi